Przestrzeń współrzędnych

Szablon:DopracowaćSzablon:Spis treści Przestrzeń współrzędnych – prototypowy model przestrzeni liniowej skończonego wymiaru nad ustalonym ciałem; definiuje się ją jako przestrzeń produktową danego ciała nad skończonym zbiorem indeksów, w szczególności każde ciało można postrzegać jako jednowymiarową przestrzeń współrzędnych z działaniem mnożenia z ciała jako mnożenia przez skalar.

Definicja

Szablon:Zobacz też Niech $K$ będzie ustalonym ciałem (takim jak liczby rzeczywiste $ℝ,$ liczby zespolone $ℂ$). Zbiór ciągów $n$ elementów z ciała $K$ tworzy nad nim $n$-wymiarową przestrzeń liniową $K^n$ nazywaną przestrzenią współrzędnych z działaniami opisanymi poniżej.

Każdy wektor $𝐱$ ma postać

$𝐱=(x_1,x_2,\dots ,x_n),$

przy czym elementy $x_i$ ciągu nazywa się jego składowymi. Działania przestrzeni liniowej na $K^n$ zdefiniowane są „po składowych”, czyli wzorami

$𝐱\mathbf{+}𝐲=(x_1+y_1,x_2+y_2,\dots ,x_n+y_n),$

$c𝐱=(c{x}_1,c{x}_2,\dots ,c{x}_n).$

Wektor zerowy ma postać

$\mathrm{𝟎}=(0,0,\dots ,0),$

a wektor przeciwny do $𝐱$ dany jest wzorem

$\mathbf{-}𝐱=(-x_1,-x_2,\dots ,-x_n).$

Wybór bazy

Szablon:Osobny artykuł W przestrzeni współrzędnych wyróżniona jest rodzina ciągów postaci

${𝐞}_i=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0),$

gdzie $1$ oznaczająca element neutralny mnożenia w $K$ jest $i$-tym elementem ciągu, a pozostałe są równe $0,$ czyli elementowi neutralnemu dodawania w $K.$ Ponieważ każdy wektor $𝐱$ przestrzeni można jednoznacznie wyrazić za pomocą powyższej rodziny,

$𝐱=\sum _{i=1}^n{x}_i{𝐞}_i,$

w jednoznaczny sposób, to wspomniane wektory tworzą bazę $K^n$ – nazywa się ją bazą standardową lub bazę kanoniczną – współrzędne każdego z wektorów w tej bazie pokrywają się z jego składowymi. Nazwa tej przestrzeni wynika z twierdzenia mówiącego, iż każda $n$-wymiarowa przestrzeń liniowa $V$ nad ciałem $K$ ma strukturę identyczną ze strukturą przestrzeni $K^n.$ Jednakże metoda utożsamienia tych przestrzeni nie jest uniwersalna – wymaga określenia bazy w przestrzeni $V,$ a więc wskazania izomorfizmu (liniowego) $V\to K^n.$ W ten sposób przekształcenie to wprowadza niejako układ współrzędnych tej przestrzeni; dokładniej, jeśli $\mathrm{A}:K^n\to V$ jest izomorfizmem (różnowartościowym przekształceniem liniowym) danym wzorem

$\mathrm{A}({𝐞}_i)={𝐚}_i$

dla $i=1,\dots ,n,$ to wektory ${𝐚}_i$ tworzą bazę przestrzeni $V.$ Podobnie dla każdej bazy uporządkowanej złożonej z wektorów ${𝐚}_i$ można wskazać izomorfizm $\mathrm{A}:K^n\to V$ dany wzorem

$\mathrm{A}(𝐱)=\sum _{i=1}^n{x}_i{𝐚}_i.$

W ten sposób dowolny wektor $𝐯$ przestrzeni $V$ można utożsamić z wektorem ${𝐯}_B$ jego współrzędnych w bazie uporządkowanej $B=({𝐛}_i)$ należący do $K^n,$ mianowicie

$𝐯=v_1{𝐛}_1+v_2{𝐛}_2+\dots +v_n{𝐛}_n$

odpowiada wtedy wektor złożony z jego współrzędnych w bazie $B,$

${𝐯}_B=(v_1,v_2,\dots ,v_n).$

To jest właśnie powodem, dla którego $K^n$ nazywa się „przestrzenią współrzędnych” $n$-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem $K.$ Mogłoby się wydawać, że abstrakcyjne przestrzenie liniowe (skończonego wymiaru) w świetle dostępności przestrzeni współrzędnych są niepotrzebne, jednak niekiedy dogodniejsze jest operowanie w przestrzeni bez wybranej bazy („układu współrzędnych”); istnieją również przestrzenie liniowe, w których wybór bazy nie jest oczywisty bądź zaciemnia sytuację – nie mniej wszelkie obliczenia i konkretne wymagają wybrania pewnej bazy przestrzeni liniowej (zob. sekcję Uogólnienia).

Macierze

Szablon:Osobny artykuł Składowe wektora $𝐱$ przestrzeni współrzędnych $K^n,$ tzn. elementy ciągu $(x_1,\dots ,x_n)$ można zapisać w macierzy jednokolumnowej bądź jednowierszowej, tzn. typu $n\times 1$ lub $1\times n,$ mianowicie

$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\text{ lub }\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \dots & x_n\end{array}\right].$

Działania na tych macierzach definiuje się identycznie jak opisano to w sekcji Definicja, z tego względu zwykle utożsamia się powyższe przestrzenie z przestrzenią współrzędnych bądź definiuje przestrzeń współrzędnych jako przestrzeń macierzy jednego z powyższych typów macierzy nad ciałem $K.$

Zwykle przedkłada się macierze jednokolumnowe nad macierze jednowierszowe nazywane odpowiednio wektorami kolumnowymi oraz wektorami wierszowymi, co ma swoje źródło w zastosowaniu macierzy typu $m\times n$ do opisu we współrzędnych (ustalonych bazach) przekształceń liniowych $K^n\to K^m.$ Wówczas działaniu przekształcenia liniowego na wektorze i składaniu przekształceń odpowiada mnożenie macierzy w naturalnym porządku, działaniom na przekształceniach $\mathrm{A}(𝐱),\mathrm{A}\circ \mathrm{B}$ odpowiadają działania na macierzach $𝐀𝐗,𝐀𝐁,$ gdzie $𝐀,𝐁$ są macierzami przekształceń liniowych $\mathrm{A},\mathrm{B},$ a kolejne elementy macierzy jednokolumnowej $𝐗$ pokrywają się z odpowiednimi elementami wektora $𝐱.$

Na mocy własności przekształcenia liniowego zachodzi

$\mathrm{A}(𝐱)=\mathrm{A}\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{𝐞}_i\right)=\sum _{i=1}^n{x}_i\mathrm{A}({𝐞}_i)=\sum _{i=1}^n{x}_i{𝐚}_i,$

gdzie ${𝐞}_i$ oznaczają wektory bazy standardowej; wynika stąd, że w celu obliczenia $i$-tej składowej obrazu $\mathrm{A}(𝐱)$ wystarczy znać ${𝐚}_i,$ czyli obraz $i$-tego wektora bazowego ${𝐞}_i$ w przekształceniu $\mathrm{A}.$ W języku macierzy ${𝐀𝐄}_i={𝐀}_i$ oznacza $i$-tą kolumnę macierzy $𝐀$ odpowiadającej $\mathrm{A}.$ Działanie $𝐀𝐗$ można wtedy traktować jako

$𝐀𝐗=𝐀\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{𝐄}_i\right)=\sum _{i=1}^n{x}_i{𝐀𝐄}_i=\sum _{i=1}^n{x}_i{𝐀}_i,$

tzn. kombinację liniową składowych wektora kolumnowego $𝐗$ i wektorów kolumnowych ${𝐀}_i$ (por. mnożenie macierzy metodą współczynniki-wektory), co można zapisać w postaci macierzowej jako

$𝐀𝐗=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1{𝐀}_1& \dots & x_n{𝐀}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{𝐀}_1& \dots & {𝐀}_n\end{array}\right]𝐗.$

Umożliwia to postrzeganie macierzy $𝐀$ jako ciągu wektorów kolumnowych – odpowiada temu traktowanie przekształcenia liniowego $K^n\to K^m$ jako przekształcenia wieloliniowego o $n$ argumentach w przestrzeń $K^m$ danego wzorem $𝖠(x_1,\dots ,x_n)\mapsto \mathrm{A}([x_1,\dots ,x_n])=[x_1{𝐚}_1,\dots ,x_n{𝐚}_n]$ – obserwacja ta ułatwia niekiedy rozważania teoretyczne.

Uogólnienia

Szablon:Zobacz też Ponieważ elementami przestrzeni współrzędnych są ciągi, tzn. funkcje określone na zbiorze skończonym $⟨n⟩=\{1,2,\dots ,n\}$ o wartościach w $K.$ W ten sposób wektory są funkcjami, które odwzorowują każdy z elementów $i$ zbioru $⟨n⟩$ na $i$-tą składową tego wektora. Dlatego przestrzeń współrzędnych $K^n$ to w istocie przestrzeń $K^{⟨n⟩}$ funkcji $⟨n⟩\to K.$ Pomysł ten uogólnia się na przestrzenie funkcji indeksowanych za pomocą dowolnego zbioru $I$ w postaci tzw. przestrzeni funkcyjnych, w szczególności uogólnionej, czy nieskończonej przestrzeni współrzędnych.

Dualność

Szablon:Zobacz też Wybór wektorów kolumnowych typu $n\times 1$ nie oznacza, że wektory wierszowe $1\times n$ nie są wtedy używane: z każdą przestrzenią współrzędnych $K^n$ można związać przestrzeń $\underset{\_}{K^n}$ (oznaczaną zwykle gwiazdką w indeksie górnym za symbolem przestrzeni) form liniowych $K^n\to K$ nazywanej przestrzenią dualną do $K^n.$ Każdą formę liniową na $K^n$ można przedstawić w bazach standardowych (obu przestrzeni) w postaci

$u(𝐱)=\sum _{i=1}^n{u}_i{x}_i.$

Działanie formy $u$ na wektorze $𝐱$ jest liniowe ze względu tak na wektory, jak i na kowektory z osobna i daje wynik skalarny – można więc na nie patrzeć jako na formę dwuliniową $\underset{\_}{K^n}\times K^n\to K$ daną wzorem

$⟨u,𝐱⟩=u(𝐱).$

Ta niezdegenerowana forma dwuliniowa ustala w ten sposób parowanie doskonałe między kowektorami a wektorami przestrzeni $K^n$ definiując izomorfizm $\underset{\_}{K^n}\to K^n.$ Dzięki temu utożsamieniu forma $u$ określona na przestrzeni $K^n$ (będąca równocześnie wektorem przestrzeni do niej dualnej $\underset{\_}{K^n}$) znajduje przedstawienie w postaci wektora współrzędnych $𝐮;$ z tego powodu formy liniowe na $K^n$ nazywa się też kowektorami tej przestrzeni.

Wspomniany izomorfizm (albo ogólniej: parowanie) umożliwia zdefiniowanie transpozycji lub sprzężenia przekształcenia $\mathrm{A}:K^n\to K^m,$ czyli przekształcenia liniowego $\underset{\_}{\mathrm{A}}:\underset{\_}{K^m}\to \underset{\_}{K^n}$ (zwykle oznacza się je gwiazdką lub dużą literą „T” w indeksie górnym po prawej stronie symbolu przekształcenia), które odwzorowuje kowektory przestrzeni $K^m$ w kowektory na $K^n$ według wzoru $\underset{\_}{\mathrm{A}}(u)=u\circ \mathrm{A};$ jego obraz będący formą na $K^n$ nazywa się cofnięciem $u$ przez/wzdłuż $\mathrm{A}.$ Ze względu na obecność w obu przestrzeniach form dwuliniowych utożsamiających wektory z kowektorami możliwe jest scharakteryzowanie tego odwzorowania za pomocą tożsamości $⟨\underset{\_}{\mathrm{A}}(u),𝐱⟩=⟨u,\mathrm{A}(𝐱)⟩,$ która byłaby spełniona dla wszystkich $u,𝐱.$

Z definicji mnożenia macierzy wynika, że jeśli wektory kolumnowe odpowiadają wektorom danej przestrzeni współrzędnych, to wektory wierszowe reprezentują jej kowektory, gdyż wspomniane parowanie w przypadku macierzy przyjmuje postać

$\underset{\_}{𝐔}𝐗=\left[\begin{array}{ccc}{u}_1& \dots & u_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\sum _{i=1}^n{u}_i{x}_i\right]=[u(𝐱)],$

gdzie podkreślenie oznacza izomorfizm ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{n\times 1}\to {\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{1\times n}$ odpowiadający utożsamieniu wektorów z kowektorami. Transpozycji przekształcenia liniowego odpowiada transpozycja (nazywana też przestawieniem i oznaczana standardowo dużą literą „T” w indeksie górnym za symbolem) macierzy $𝐌$ typu $m\times n$ dająca w wyniku macierz $\underset{\_}{𝐌}$ typu $n\times m,$ która polega na zamianie miejscami jej wierszy i kolumn (z zachowaniem ich porządku).

Choć oczywiste jest, iż $\underset{\_}{\underset{\_}{𝐀}}=𝐀,$ to wcale nie jest jasne, iż $\underset{\_}{\underset{\_}{\mathrm{A}}}:\underset{\_}{\underset{\_}{K^n}}\to \underset{\_}{\underset{\_}{K^m}},$ a w szczególności, iż $\underset{\_}{\underset{\_}{K^n}}$ ma tę samą strukturę, co $K^n.$ Jak można się domyślać, skoro zachodzi równość dla macierzy, to istnieje pewne utożsamienie (izomorfizm) między tymi przestrzeniami – wynika to wprost z faktu, iż dowolne dwie przestrzenie liniowe równego wymiaru skończonego są izomorficzne. W tym wypadku istnieje jednak naturalne przekształcenie danej z przestrzeni z jej drugą dualną (tj. przestrzeni form liniowych określonych na przestrzeni form liniowych danej przestrzeni), które odwzorowywałoby wektor w „ko-kowektor”, czyli formę $\underset{\_}{K^n}\to K.$ Obliczenie wartości (tzw. ewaluacja) formy dla ustalonego wektora, ${\mathrm{e}\mathrm{v}}_{𝐱}:u\mapsto u(𝐱),$ jest przekształceniem liniowym ze względu na przyłożone formy, które jest elementem $\underset{\_}{\underset{\_}{K^n}}.$ Przekształcenie $\mathrm{e}\mathrm{v}:𝐱\mapsto {\mathrm{e}\mathrm{v}}_{𝐱},$ liniowe ze względu na przyłożone wektory, odwzorowuje więc $K^n$ w przestrzeń $\underset{\_}{\underset{\_}{K^n}}.$ W ten sposób działanie $\mathrm{e}\mathrm{v}$ obliczania wartości formy $u$ przy jej działaniu na wektor $𝐱$ dane wzorem ${\mathrm{e}\mathrm{v}}_{𝐱}(u)=u(𝐱)$ jest naturalnym parowaniem danej przestrzeni i przestrzeni do niej dualnej – przestrzenie, dla których istnieje tego rodzaju utożsamienie (zwykle jest ono tylko zanurzeniem), nazywa się refleksywnymi; są nimi w szczególności przestrzenie współrzędnych, o czym mówi ta uwaga (zob. para dualna).

Analizowanym w poprzedniej sekcji działaniom na przekształceniach, $\mathrm{A}(𝐱),\mathrm{A}\circ \mathrm{B},$ odpowiada mnożenie następujących macierzy: $\underset{\_}{𝐗𝐀}$ oraz $\underset{\_}{𝐁𝐀},$ czyli w odwrotnym porządku – przedkładanie wektorów kolumnowych nad wierszowe przy opisie przekształceń liniowych jest więc czysto arbitralne i wynika z naturalnej w zachodniej kulturze chęci zapisu działań od lewej do prawej.

Iloczyn skalarny

Szablon:Osobny artykuł W przestrzeni współrzędnych nad ciałem liczb rzeczywistych $ℝ$ definiuje się działanie odwzorowujące parę wektorów $𝐱,𝐲$ w ciało jej skalarów nazywane iloczynem skalarnym tych wektorów:

$𝐱\cdot 𝐲:=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i.$

Odwzorowanie to wprowadza na przestrzeni ${ℝ}^n$ strukturę unitarną, w tym pojęcia „długości” i „odległości”; każda przestrzeń liniowa ma naturalną strukturę afiniczną nad samą sobą, dzięki czemu ${ℝ}^n$ ma strukturę euklidesową.

Z definicji iloczynu skalarnego wynika, że jest przemienny i liniowy ze względu oba argumenty: w oparciu o poprzednią sekcję rozważania te sugerują istnienie niezdegenerowanej formy dwuliniowej ${ℝ}^n\times {ℝ}^n\to ℝ$ będącej parowaniem przestrzeni ${ℝ}^n$ ze sobą dzięki istnieniu formy $\underset{\_}{{ℝ}^n}\times {ℝ}^n\to ℝ$ dającej izomorfizm $\underset{\_}{{ℝ}^n}\to {ℝ}^n.$ Dlatego choć iloczyn skalarny jest działaniem na wektorach, to operacje z jego wykorzystaniem muszą respektować utożsamienie wektorów z kowektorami (tj. działanie kowektorów na wektorach) – przekształceniami zachowującymi własności iloczynu skalarnego są przekształcenia ortogonalne (ich macierzami są macierze ortogonalne).

Inna natura obiektów manifestuje się w odmiennym ich zachowaniu przy zmianie bazy za pomocą przekształcenia nieortogonalnego (tj. przy nieortogonalnych automorfizmach przestrzeni liniowej, np. na prostoliniową, czy krzywoliniową): współrzędne wektorów przekształcają się w pewnym sensie „na przekór” (kontrawariantnie) przekształceniu przejścia między bazami, z kolei współrzędne kowektorów odwzorowywane są niejako „zgodnie” (kowariantnie) względem tego przekształcenia. Nie mniej obecność przestrzeni dualnej długo pozostawała niezauważona, a konieczność śledzenia wektorów i kowektorów stała się jednym z powodów, dla których preferuje się operowanie na przestrzeniach bez wybranych baz.

Podobnie można określić przestrzeń współrzędnych zespolonych w przypadku ciała liczb zespolonych i rozważać iloczyn skalarny dany jednak nieco innym wzorem, wówczas mówi się o przestrzeniach unitarnych, przekształceniach unitarnych i macierzach unitarnych.

Uwagi

Szablon:Uwagi