Przekształcenie unitarne

Przekształcenie unitarne, przekształcenie ortogonalne – przekształcenie liniowe dwóch przestrzeni unitarnych (euklidesowych) zachowujące iloczyn skalarny, tzn. taka bijekcja $U : X \to Y$ tych przestrzeni, dla której zachodzi Szablon:Wzór

dla wszystkich $𝐱, 𝐲 \in X,$ gdzie $\cdot$ oznacza iloczyn skalarny w $X,$ a $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ jest iloczynem skalarnym w $Y .$

Macierzą tego przekształcenia jest macierz unitarna (lub macierz ortogonalna). Jeśli $X = Y,$ to przekształcenie to nazywa się operatorem unitarnym na $X .$ Każde przekształcenie unitarne jest izometrią. Pojęcie to odgrywa istotną rolę w teorii przestrzeni Hilberta (będącej przestrzenią unitarną).

Każde przekształcenie unitarne zachowuje długości wektorów, co wynika z przyjęcia $𝐱 = 𝐲$ w Szablon:LinkWzór.

Linki zewnętrzne

Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, Transformacje ortogonalne zachowują długości wektorów i kąty między nimi, kanał Khan Academy na YouTube, 5 października 2023 [dostęp 2024-06-22].
Szablon:MathWorld [dostęp 2024-06-22].
Szablon:Otwarty dostęp Unitary transformation Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-06-22].
Szablon:Otwarty dostęp Orthogonal transformation Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-06-22].