Macierz unitarna

Macierz unitarna – macierz kwadratowa o elementach zespolonych $U\in M_{n\times n}(ℂ)$ spełniająca własność:

$U^{†}U=U{U}^{†}=I_n,$

gdzie:

$I_n$ jest macierzą jednostkową wymiaru $n,$

$U^{†}$ jest sprzężeniem hermitowskim macierzy $U.$

Zauważmy, że własność ta oznacza, iż macierz $U$ posiada macierz odwrotną $U^{-1}$ równą sprzężeniu hermitowskiemu jej samej, czyli:

$U^{†}=U^{-1}.$

Szczególnym przypadkiem macierzy unitarnej jest macierz ortogonalna, mająca wyłącznie rzeczywiste elementy. Macierze unitarne mają wyjątkowe znaczenie w mechanice kwantowej.

Macierze unitarne są szczególnym przypadkiem macierzy normalnych.

Macierz unitarna wymiaru $n\times n$ można sparametryzować za pomocą $n^2$ parametrów rzeczywistych (por. Parametryzacje macierzy unitarnych poniżej).

Własności macierzy unitarnej

Dla macierzy $U$ słuszne są następujące stwierdzenia:

• Dla dowolnych wektorów zespolonych $x$ and $y,$ mnożenie przez $U$ zachowuje ich iloczyn wewnętrzny, tzn.

  $⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩,$

• $U$ można zdiagonalizować, co oznacza, że $U$ jest macierzą podobną do macierzy diagonalnej (jest to konsekwencją twierdzenia spektralnego); dlatego $U$ można rozłożyć do postaci

  $U=VD{V}^{†},$

gdzie $V$ jest unitarna, zaś $D$ jest diagonalna i unitarna.

• Wyznacznik macierzy unitarnej jest liczbą zespoloną o module równym 1:

  $|\det (U)|=1,$

• Wektory własne macierzy $U$ są ortogonalne.
• $U$ może być zapisana w postaci $U=e^{iH}$ gdzie $e$ oznacza eksponentę macierzy, $i$ jest jednostką urojoną, zaś $H$ jest macierzą hermitowską.

Równoważne warunki

Jeżeli $U$ jest zespoloną macierzą kwadratową to następujące warunki są równoważne:

1. $U$ jest unitarna.
2. $U^{†}$ jest unitarna.
3. macierz odwrotna do $U$ jest równa macierzy hermitowsko sprzężonej do $U,$ tj. $U^{-1}=U^{†}.$
4. Kolumny $U$ tworzą bazę ortonormalną w ${ℂ}^n$ ze względu na iloczyn wewnętrzny.
5. Wiersze $U$ tworzą bazę ortonormalną w ${ℂ}^n$ ze względu na iloczyn wewnętrzny.
6. $U$ jest izometrią ze względu na zwykła normę.
7. $U$ jest macierzą normalną z wartościami własnymi leżącymi na okręgu jednostkowym.

Grupa unitarna

Dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej $n$ zbiór wszystkich $n\times n$ macierzy unitarnych z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym i macierzą jednostkową $n\times n$ jako elementem neutralnym mnożenia tworzy grupę, nazywaną grupą unitarną $U(n).$ Jest tak, gdyż zachodzą następujące własności:

• Iloczyn dwóch macierzy unitarnych $n\times n$ jest macierzą unitarną.
• Macierz odwrotna do macierzy unitarnej $n\times n$ jest unitarna.
• Macierz jednostkowa $n\times n$ jest unitarna.

Parametryzacje macierzy unitarnych

Macierze unitarne 1×1

Ogólna postać macierzy unitarnej 1×1:

$U=e^{i\phi }\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right],$

która zależy od 1 rzeczywistego parametru $\phi .$ Wyznacznik takiej macierzy wynosi:

$\det (U)=e^{i\phi }.$

Przypadek gdy $\phi =0$ jest trywialny: wyznaczniki macierzy jest równy 1, istnieje tylko jedna taka macierz o postaci $U=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right],$ która tworzy 1-elementową grupę nazywana grupą SU(1).

Macierze unitarne 2×2

Ogólna postać macierzy unitarnej 2×2:

$U=e^{i\phi }\left[\begin{array}{cc}a& b\\ -\bar{b}& \bar{a}\end{array}\right],|a{|}^2+|b{|}^2=1,$

która zależy od 4 rzeczywistych parametrów ($\phi$ oraz trzy parametry niezależne występujące w zapisie liczb zespolonych $a,b$). Wyznacznik takiej macierzy wynosi:

$\det (U)=e^{i\phi }.$

Gdy $\phi =0,$ to wyznaczniki macierzy jest równy 1. Grupa tworzona przez takie macierze unitarne jest nazywana grupą SU(2).

Macierz $U$ może być napisana w alternatywnej formie:

$U=e^{i\phi }\left[\begin{array}{cc}{e}^{i{\phi }_1}\cos \theta & e^{i{\phi }_2}\sin \theta \\ -e^{-i{\phi }_2}\sin \theta & e^{-i{\phi }_1}\cos \theta \end{array}\right];$

po podstawieniu ${\phi }_1=\psi +\mathrm{\Delta }$ and ${\phi }_2=\psi -\mathrm{\Delta }$ otrzymamy faktoryzację:

$U=e^{i\phi }\left[\begin{array}{cc}{e}^{i\psi }& 0\\ 0& e^{-i\psi }\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{e}^{i\mathrm{\Delta }}& 0\\ 0& e^{-i\mathrm{\Delta }}\end{array}\right].$

Wyrażenie to podkreśla związek między macierzami unitarnymi 2×2 a macierzami obrotu 2×2 o kącie obrotu $\theta .$

Jest wiele możliwych sposobów faktoryzowania danej macierzy.

Macierze unitarne 3×3

Ogólna postać macierzy unitarnej 3×3:

$U=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& e^{i{\phi }_4}& 0\\ 0& 0& e^{i{\phi }_5}\end{array}\right]K\left[\begin{array}{ccc}{e}^{i{\phi }_1}& 0& 0\\ 0& e^{i{\phi }_2}& 0\\ 0& 0& e^{i{\phi }_3}\end{array}\right],$

która zależy od 9 rzeczywistych parametrów: pięciu parametrów ${\phi }_n,n=1,2,3,4,5$ oraz 4 parametrów, za pomocą których wyraża się macierz $K,$ która jest macierzą Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (jest to macierz unitarna 3×3).

Przykłady

(1) Macierz

$U=\left[\begin{array}{c}{e}^{-i}\end{array}\right]$

jest unitarna, ponieważ

$U{U}^{†}=\left[\begin{array}{c}{e}^{-i}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}^{+i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{e}^{-i}{e}^{+i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]=I.$

(2) Macierz

$U=\left[\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right]$

jest unitarna, ponieważ

$U{U}^{†}=\left[\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}0& -i\\ -i& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-i^2& 0\\ 0& -i^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=I.$

(3) Macierz

$U=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1+i& 1-i\\ 1-i& 1+i\end{array}\right]$

jest unitarna, ponieważ

$U{U}^{†}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1+i& 1-i\\ 1-i& 1+i\end{array}\right]\cdot \frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1-i& 1+i\\ 1+i& 1-i\end{array}\right]=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cc}2(1+i)(1-i)& (1+i{)}^2+(1-i{)}^2\\ (1-i{)}^2+(1+i{)}^2& 2(1-i)(1+i)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=I.$

(4) Każda macierz ortogonalna jest unitarna, ponieważ jest szczególnym przypadkiem macierzy unitarnych, np. macierz obrotu:

$R=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right].$

Macierze unitarne w fizyce

Macierze unitarne są powszechnie stosowane w mechanice kwantowej.

Macierz ewolucji czasowej

Dla przykładu operator ewolucji czasowej wektora stanu układu kwantowego można przedstawić w postaci macierzy unitarnej; wektor stanu w chwili $t$ otrzymuje się z pomnożenia wektora stanu w chwili $t_0$ przez macierz ewolucji czasowej $U(t,t_0),$ czyliSzablon:Odn

$|\mathrm{\Psi }(t)⟩=U(t,t_0)|\mathrm{\Psi }(t_0)⟩.$

Wektor sprzężony do powyższego wektora ma postać:

$⟨\mathrm{\Psi }(t)|=⟨\mathrm{\Psi }(t_0)|U^{†}(t,t_0).$

Ponieważ

$U^{†}(t,t_0)U(t,t_0)=1,$

długość wektora stanu w chwili $t$ wynosi

$⟨\mathrm{\Psi }(t)|\mathrm{\Psi }(t)⟩=⟨\mathrm{\Psi }(t_0)|U^{†}(t,t_0)U(t,t_0)|\mathrm{\Psi }(t_0)⟩=⟨\mathrm{\Psi }(t_0)|\mathrm{\Psi }(t_0)⟩.$

Macierz unitarna ewolucji czasowej zachowuje więc długość wektora stanu. Dzięki temu możliwe jest nadanie interpretacji probabilistycznej formalizmowi mechaniki kwantowej.

Wartość oczekiwana pomiaru

Wartość oczekiwaną pomiaru $⟨O⟩(t)$ w chwili $t$ z pomiaru wykonanego na zespole identycznie przygotowanych układów kwantowych, gdzie pomiarowi wielkości fizycznej $O$ odpowiada operator pomiaru $\hat{O}$ (reprezentowany przez macierz hermitowską), oblicza się ze wzoruSzablon:Odn:

$⟨\hat{O}⟩(t)=⟨\mathrm{\Psi }(t)|\hat{O}\mathrm{\Psi }(t)⟩,$

co oznacza, że należy obliczyć wynik działania operatora pomiaru na stan $|\mathrm{\Psi }(t)⟩$ układu w chwili $t$ i pomnożyć wynik przez wektor sprzężony. Korzystając z zależności czasowej wektora stanu (wzory 1 i 2 powyżej), otrzymamy:

$⟨O⟩(t)=⟨\mathrm{\Psi }(t)|\hat{O}\mathrm{\Psi }(t)⟩=⟨\mathrm{\Psi }(t_0)|U^{†}(t,t_0)\hat{O}U(t,t_0)|\mathrm{\Psi }(t_0)⟩.$

Jeżeli oznaczymy

$\hat{O}(t)=U^{†}(t,t_0)\hat{O}U(t,t_0),$

to powyższy wzór przyjmie postać:

$⟨O⟩(t)=⟨\mathrm{\Psi }(t_0)|\hat{O}(t)\mathrm{\Psi }(t_0)⟩.$

Wartość oczekiwana z pomiaru w chwili $t_0$ ma postać:

$⟨O⟩(t_0)=⟨\mathrm{\Psi }(t_0)|\hat{O}(t_0)\mathrm{\Psi }(t_0)⟩.$

Widać z powyższego, że wartość oczekiwaną z pomiaru można obliczać działając na wektor stanu operatorem pomiaru, którego postać ewoluuje w czasie zgodnie ze wzorem $\hat{O}(t)=U^{†}(t,t_0)\hat{O}U(t,t_0).$

Jest to tzw. obraz Heisenberga, w którym wektor stanu nie zmienia się z upływem czasu, ale zmieniają się operatory.

Inne przykłady macierzy unitarnych w fizyce

• macierze sigma (Pauliego)
• macierze gamma (Diraca)
• macierz S
• macierz CKM

Zobacz też

• macierz hermitowska
• macierz ortogonalna
• macierz sprzężona
• macierz transponowana
• operator normalny
• przestrzeń unitarna
• symetria unitarna

Bibliografia

• Szablon:Cytuj

Literatura dodatkowa

• T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004, s. 94–123.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-07-02].