Macierze podobne

Macierze podobne – macierze kwadratowe $A,B$ stopnia $n$ nad ciałem $𝕂,$ spełniające równość $A=C^{-1}BC,$ dla pewnej macierzy $C$ nieosobliwej.

Relację podobieństwa macierzy oznacza się symbolem $\approx .$ Podobieństwo macierzy zapisuje się: $A\approx B$.

Relacja podobieństwa macierzy jest relacją równoważności, ponieważ jest:

• zwrotna: $A\approx A,$ ponieważ $A=I^{-1}AI,$ gdzie $I$ to macierz identycznościowa;
• symetryczna: $(A=C^{-1}BC\Rightarrow B=(C^{-1}{)}^{-1}A{C}^{-1})⟹(A\approx B\Rightarrow B\approx A);$
• przechodnia: $(A\approx B\wedge B\approx C)\Rightarrow (A=D^{-1}BD\wedge B=E^{-1}CE)\Rightarrow A=(ED{)}^{-1}C(ED)\Rightarrow A\approx C$.

Własności

Macierz $B$ nazywa się podobną do macierzy $A,$ jeżeli istnieje taka macierz nieosobliwa $C,$ że $B=C^{-1}AC.$ Mówi się, że macierz $B$ powstaje z macierzy $A$ za pomocą przekształcenia zwanego podobieństwem. Przekształcenie to ma następujące własnościSzablon:R:

$C^{-1}{A}_{1}C+C^{-1}{A}_{2}C+\dots +C^{-1}{A}_{n}C=C^{-1}(A_1+A_2+\dots +A_n)C),$

$C^{-1}{A}_{1}C{C}^{-1}{A}_{2}C\dots C^{-1}{A}_{n}C=C^{-1}(A_1{A}_2\dots A_n)C.$

W szczególności $(C^{-1}AC{)}^n=C^{-1}{A}^{n}C$ i ogólnie $f(C^{-1}AC)=C^{-1}f(A)C$ dla dowolnego wielomianu $f(\lambda ).$

Z ostatniej własności wynika, że

• macierze podobne mają jednakowe wielomiany charakterystyczne, ponieważ

$|B-\lambda I|=|C^{-1}AC-\lambda C^{-1}IC|=|C^{-1}||A-\lambda I||C|=|A-\lambda I|,$ gdzie $I$ to macierz identycznościowa.

Wartości i wektory własne

Macierze podobne $A$ i $B=C^{-1}AC$ mają jednakowe wielomiany charakterystyczne i dlatego mają także jednakowe widma wartości własnych. Geometryczny sens tej zależności wynika z faktu, że macierze te reprezentują jedno i to samo przekształcenie odniesione do różnych baz. Dlatego wektory własne macierzy podobnych są kolumnami utworzonymi ze współrzędnych wektorów własnych danego przekształcenia w różnych bazach i wobec tego zachodzi między nimi związek

$x_B=C^{-1}{x}_A,$

gdzie $C$ jest macierzą przekształcenia współrzędnych. Związek ten wynika z równań

$\begin{array}{c}(A-\lambda I)x_A=0\\ (B-\lambda I)x_B=0\end{array}\}\begin{array}{c}(C^{-1}AC-\lambda C^{-1}IC)x_B=0\\ C^{-1}(A-\lambda I)C{x}_B=0\\ (A-\lambda I)x_A=0\end{array}\to x_B=C^{-1}{x}_A.$

Bibliografia

• W.N. Faddiejewa, Metody numeryczne algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1955.
• Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, Szablon:ISBN