Relacja zwrotna

Relacja zwrotna – relacja dwuargumentowa (dwuczłonowa), w której każdy element zbioru jest w relacji sam z sobą.

Formalnie relację dwuczłonową $\rho \subseteq X\times X$ nazywa się zwrotną, gdy dla każdego $x\in X$ zachodzi warunek $(x,x)\in \rho$.

Zwrotność jest jedną z definiujących cech praporządków, w tym relacji równoważności i częściowych porządków (skierowań).

Relacja przeciwzwrotna

Relacja przeciwzwrotna – relacja, w której żaden element zbioru nie jest w relacji sam z sobą.

Formalnie relację $\rho \subseteq X\times X$ nazywa się przeciwzwrotną, gdy dla żadnego $x\in X$ nie zachodzi warunek $(x,x)\in \rho ,$ czyli gdy dla każdego $x\in X$ zachodzi $(x,x)\notin \rho$.

Przykłady

Relacje zwrotne

• relacja identyczności w zbiorze
• relacja podzielności w zbiorze (dodatnich) liczb naturalnych,
• relacja przecinania się zbiorów niepustych,
• przemienność (komutacja) funkcji w danym zbiorze (działań jednoargumentowych) lub macierzy kwadratowych,
• liniowa zależność wektorów,
• podgrupa normalna to przykład relacji zwrotnej, która nie jest ani symetryczna, ani przechodnia.

Relacje przeciwzwrotne

• relacja większości w zbiorze liczb rzeczywistych,
• ścisłe zawieranie (ścisła inkluzja) zbiorów,
• prostopadłość prostych,
• rozłączność zbiorów niepustych,
• liniowa niezależność niezerowych wektorów,
• bycie rodzicem lub przodkiem, dzieckiem lub potomkiem, rodzeństwem, małżonkiem.

Relacje ani zwrotne, ani przeciwzwrotne

• względna pierwszość liczb naturalnych – nie jest zwrotna, ponieważ 2 nie jest względnie pierwsza ze sobą; nie jest też przeciwzwrotna, bo 1 jest już względnie pierwsza ze sobą samą,
• Biorąc relację $\varrho$ określoną na zbiorze liczb naturalnych następująco: $n\varrho m$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n+m+1$ jest liczbą pierwszą. Relacja $\varrho$ nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna, ponieważ przykładowo $\mathrm{\neg }(10\varrho 10)$ (co dowodzi, że nie jest zwrotna, ponieważ $10+10+1=21=3\cdot 7$) oraz $2\varrho 2$ (nie jest przeciwzwrotna, ponieważ $2+2+1=5$).

Zobacz też

• relacja przechodnia
• relacja symetryczna
• relacja równoważności

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę