Grupa SU(2)

Grupa SU(2), czyli specjalna grupa unitarna rzędu 2 – grupa macierzy unitarnych o wyznaczniku równym 1.

Reprezentacja fundamentalna tej grupy składa się z macierzy wymiaru $2\times 2,$ o wyrazach ze zbioru liczb zespolonych, tj.

$\mathrm{SU}(2)=\{\left(\begin{array}{cc}x& -\bar{y}\\ y& \bar{x}\end{array}\right):x,y\in 𝐂,|x{|}^2+|y{|}^2=1\},$

gdzie np. $\bar{x}$ to liczba sprzężona do $x.$

Inne reprezentacje grupy tworzą macierze wyższego wymiaru, przy tym ich generatory spełniają identyczne warunki komutacyjne jak generatory reprezentacji fundamentalnej (omówiono to w artykule).

Działaniem grupowym w każdej reprezentacji jest operacja mnożenia macierzy. Elementem neutralnym grupy w danej reprezentacji jest macierz jednostkowa (o wymiarze równym wymiarowi macierzy tej reprezentacji). Elementem odwrotnym jest macierz odwrotna dodanej macierzy.

Grupa $SU(2)$ jest podgrupą w grupie macierzy unitarnych $U(2),$ która z kolei jest podgrupą pełnej grupy liniowej $GL(2,ℂ).$ Centrum grupy $SU(2)$ jest izomorficzne z grupą cykliczną ${\mathbb{Z}}_2.$

Topologia

Grupa $SU(2)$ jest rozmaitość różniczkową wymiaru 3, jednospójną i zwartą; jako grupa jest grupą Liego: grupa macierzy $SU(2)$ jest grupą ciągłą, tzn. elementy macierzy należących do grupy są wyrażone za pomocą funkcji różniczkowalnych i ciągłych, należnych od 3 parametrów liniowo niezależnych. Algebra Liego su(2) związana z grupą Liego $SU(2)$ posiada $2^2-1=3$ generatory $T^a,a=1,2,3.$

Reprezentacja fundamentalna grupy SU(2)

Generatory

Generatory algebry Liego $su(2)$ dla reprezentacji fundamentalnej grupy $SU(2)$ wyrażają się poprzez macierze wymiaru 2 × 2; najczęściej wybiera się jako generatory macierze Pauliego mnożone przez 1/2, tj.

$T^a=\frac{1}{2}{\sigma }^a,$

czyli

$T^1=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0& & 1\\ 1& & 0\end{array}\right],$ $T^2=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0& & -i\\ i& & 0\end{array}\right],$ $T^3=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}1& & 0\\ 0& & -1\end{array}\right].$

Reguły komutacji generatorów

Generatory te spełniają reguły komutacji:

$[T^1,T^2]=i{T}^3,$

$[T^2,T^3]=i{T}^1,$

$[T^3,T^1]=i{T}^2,$

gdzie $[T^a,T^b]=T^a{T}^b-T^b{T}^a$ – komutator.

Reguły komutacji można zapisać za pomocą wzoru

$[T^a,T^b]=i\sum _c{ϵ}_{abc}{T}^c,$

gdzie: ${ϵ}_{abc}$ oznacza tzw. symbol antysymetryczny:

• ${ϵ}_{abc}=+1,$ gdy liczby $abc$ są parzystą permutacją liczb 123,
• ${ϵ}_{abc}=-1,$ gdy liczby $abc$ są nieparzystą permutacją liczb 123,
• ${ϵ}_{abc}=0,$ gdy dwie lub trzy liczby $a,b,c$ są takie same.

Reguły antykomutacji:

$\{T_a,T_b\}={\delta }_{ab}I,$

gdzie ${\delta }_{ab}$ – delta Kroneckera.

Stałe struktury

Z postaci komutatora widać, że tensor antysymetryczny wyznacza stałe struktury grupy, tzn.

$f_{abc}={ϵ}_{abc},a,b,c=1,2,3$

– stałe te (prawie) zupełnie determinują strukturą multiplikatywną grupy (tj. wyniki mnożenia elementów grupy przez siebie). Generatory $T^1,T^2,T^3$ definiują algebrę Liego $su(2),$ tworząc jej bazę. Macierze te nie są jedynymi macierzami $2\times 2,$ które spełniają te same warunki komutacji.

Inne reprezentacji grupy $SU(2)$

Możliwe są więc także różne reprezentacje macierzowe tej samej grupy: generatorami tych reprezentacji są macierze wymiaru większego niż 2, które spełniają te same reguły komutacyjne co generatory wymiaru $2\times 2$ – te ostatnie nazywa się generatorami reprezentacji fundamentalnej (definiującej) grupy $SU(2).$

Macierz SU(2) wyrażona za pomocą generatorów

Dowolną macierz grupy $SU(2)$ w jej reprezentacji wymiaru $r$ można wyrazić za pomocą eksponenty

$R_r(\psi ,n_1,n_2,n_3)=\exp \left[i\psi \sum _{a=1}^3{T}_r^a{n}_a\right],$

gdzie:

• $n_1,n_2,n_3$ takie, że $(n_1{)}^2+(n_2{)}^2+(n_3{)}^2=1,$ $\overrightarrow{n}=(n_1,n_2,n_3)$ – wektor jednostkowy, skierowany wzdłuż osi obrotu,
• $\psi$ – kąt obrotu (określony zgodnie z regułą prawej dłoni) wokół danej osi zadanej wektorem $\overrightarrow{n}.$
• $T_r^1,T_r^2,T_r^3$ – generatory danej reprezentacji o wymiarze $r=2,3,4,\dots$

Uwaga 1: Wykładnik w eksponencie powyższego wzoru przedstawia sumę macierzy antyhermitowskich bezśladowych (np. dla reprezentacji fundamentalnej $2\times 2$ generatorami są macierze Pauliego, mnożone przez odpowiednie współczynniki – w efekcie w eksponencie mamy macierz antyhermitowską bezśladową) – jest to warunek konieczny, by generowana macierz była unitarna; bezśladowość zapewnia, że wyznacznik generowanej macierzy jest równy 1 – dlatego generowania jest specjalna macierz unitarna.

Uwaga 2: Grupa $SU(2)$ jest grupą zwartą, zależną od 3 liniowo niezależnych parametrów $\theta ,\varphi ,\psi ,$ które należą do zbioru zwartego $\mathrm{\Omega }\subset R^3,$ przy czym:

$n^1=\sin \theta \sin \varphi ,$ $n^2=\sin \theta \cos \varphi ,$ $n^3=\cos \theta$

– współrzędne kartezjańskie wektora jednostkowego, skierowanego wzdłuż osi obrotu,

$\psi$ – kąt obrotu wokół tej osi

oraz

$\theta \in ⟨0,\pi ⟩,\varphi \in ⟨0,2\pi ⟩,$ $\psi \in ⟨0,2\pi ⟩.$

Zobacz też

Grupy

• grupa obrotów SO(2)
• grupa obrotów SO(n)
• grupa unitarna SU(n)

Inne

• algebra Liego
• bozony cechowania
• macierze Pauliego
• symetria unitarna
• symetria złamana

Bibliografia

• F.W. Byron, R.W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, PWN, Warszawa 1975, Tom 2.
• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, Szablon:ISBN.

Linki zewnętrzne

• S. Mrówczyński, Grupa SU(N) i jej reprezentacje
• Andrzej Trautman, Grupy oraz ich reprezentacje oraz ich zastosowania w fizyce, 2011 [dostęp 2021-08-17].