Symbol Leviego-Civity

Wizualizacja symbolu Leviego-Civity jako trzech macierzy 3×3.

Wizualizacja symbolu Leviego-Civity dla lewoskrętnego układu współrzędnych (pusty sześcian odpowiada liczbie 0, niebieski liczbie -1 i czerwony liczbie 1).

Symbol Leviego-Civity (symbol zupełnie antysymetryczny) jest antysymetrycznym symbolem podobnym do delty Kroneckera, który jest zdefiniowany jako: Szablon:Wzór

Symbol ten został nazwany na cześć matematyka włoskiego Tullia Leviego-Civity. Wartym wspomnienia jest fakt, iż w rachunku tensorowym stosuje się również „epsilony” z większą liczbą indeksów.

Symbol może zostać zastosowany do zapisu iloczynu wektorowego w konwencji Einsteina: Szablon:Wzór

W notacji tensorowej w tej samej konwencji co poprzednio mamy natomiast: Szablon:Wzór

gdzie ${\vec{e}}^{i}$ jest $i$ -tym wektorem bazy kontrawariantej.

Symbol ten jest pomocny przy wyprowadzaniu skomplikowanych wzorów z operatorem nabla i umożliwia uniknięcie rozpisywania wszystkiego na pochodne cząstkowe, przykładowo w układzie kartezjańskim symbol Leviego-Civity jest wielkością stałą, którego wartość jest zależna od trzech indeksów według przedstawienia Szablon:LinkWzór.

Związek symboli Leviego-Civity z symbolami Kroneckera

Niech mamy podwójny iloczyn wektorowy napisanej jako wzór w punkcie Szablon:LinkWzór i zdefiniujmy wektory bazy kartezjańskiej prostokątnego układu współrzędnych wedle następującego sposobu: Szablon:Wzór

Wtedy odpowiedniki wektorów występującej we wspomnianym wzorze na podwójny iloczyn wektorowy są w postaci: Szablon:Wzór

Wektory Szablon:LinkWzór możemy podstawić do wspomnianego powyżej wzoru, wtedy mamy: Szablon:Wzór

Ponieważ wektory Szablon:LinkWzór są wektorami bazy kartezjańskiej, zatem wedle wzoru Szablon:LinkWzór możemy napisać: Szablon:Wzór

Jeśli wykorzystamy związek Szablon:LinkWzór, i że wektory Szablon:LinkWzór są ortonormalne, wtedy przy pomocy symboli Leviego-Civity i symboli Kroneckera równość wynikająca z Szablon:LinkWzór możemy napisać następująco: Szablon:Wzór

Zastosowanie symbolu Leviego-Civity w przykładach

Aby pokazać zastosowania symbolu Leviego-Civity udowodnijmy dla przykładu dwa poniższe twierdzenia:

Szablon:Wzór

Dowód twierdzenia Szablon:LinkWzór opiera się na własnościach operatora ∇, czyli korzystamy w tym przypadku z twierdzenia o pochodnej iloczynu.

\begin{matrix} \nabla \times (f \vec{a}) & = ϵ_{i j k} {\vec{e}}_{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}} (f a_{k}) \\ = ϵ_{i j k} {\vec{e}}_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} a_{k} + f ϵ_{i j k} {\vec{e}}_{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}} a_{k} \\ = (\nabla f) \times \vec{a} + f (\nabla \times \vec{a}) . \end{matrix}

Dowód twierdzenia Szablon:LinkWzór też opiera się na własnościach operatora ∇, czyli korzystamy w tym przypadku z twierdzenia o pochodnej iloczynu, a także rozwinięcia iloczynu skalarnego poprzez wzór Szablon:LinkWzór.

\begin{matrix} \nabla (\vec{a} \times \vec{b}) & = {\vec{e}}_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ϵ_{j k l} {\vec{e}}_{j} a_{k} b_{l}) \\ = {\vec{e}}_{i} {\vec{e}}_{j} ϵ_{j k l} \frac{\partial}{\partial x_{i}} (a_{k} b_{l}) \\ = δ_{i j} ϵ_{j k l} (\frac{\partial a_{k}}{\partial x_{i}} b_{l} + a_{k} \frac{\partial b_{l}}{\partial x_{i}}) \\ = ϵ_{i k l} \frac{\partial a_{k}}{\partial x_{i}} b_{l} + ϵ_{i k l} a_{k} \frac{\partial b_{l}}{\partial x_{i}} \\ = b_{l} δ_{j l} ϵ_{i k j} \frac{\partial a_{k}}{\partial x_{i}} + a_{k} δ_{j k} ϵ_{i j l} \frac{\partial b_{l}}{\partial x_{i}} \\ = b_{l} {\vec{e}}_{l} {\vec{e}}_{j} ϵ_{i k j} \frac{\partial a_{k}}{\partial x_{i}} + a_{k} {\vec{e}}_{k} {\vec{e}}_{j} ϵ_{i j l} \frac{\partial b_{l}}{\partial x_{i}} \\ = b_{l} {\vec{e}}_{l} ϵ_{j i k} {\vec{e}}_{j} \frac{\partial}{\partial x_{i}} a_{k} - a_{k} {\vec{e}}_{k} ϵ_{j i l} {\vec{e}}_{j} \frac{\partial}{\partial x_{i}} b_{l} \\ = \vec{b} (\nabla \times \vec{a}) - \vec{a} (\nabla \times \vec{b}) . \end{matrix}

Przykłady

$ϵ_{112} = 0,$ z powodu powtarzającej się wartości indeksu (wystarczy wziąć $i = 1$ oraz $j = 2$ w powyższej definicji),
$ϵ_{123} = 1,$ gdyż $(1, 2, 3)$ jest parzystą permutacją $(1, 2, 3),$
$ϵ_{312} = 1,$ gdyż $(3, 1, 2),$ jest parzystą permutacją $(1, 2, 3),$
$ϵ_{213} = - 1,$ gdyż $(2, 1, 3),$ jest nieparzystą permutacją $(1, 2, 3) .$

Zobacz też

Szablon:Algebra liniowa Szablon:Formy na przestrzeniach liniowych

Symbol Leviego-Civity

Spis treści

Związek symboli Leviego-Civity z symbolami Kroneckera

Zastosowanie symbolu Leviego-Civity w przykładach

Przykłady

Zobacz też

Menu nawigacyjne

Symbol Leviego-Civity

Związek symboli Leviego-Civity z symbolami Kroneckera

Zastosowanie symbolu Leviego-Civity w przykładach

Przykłady

Zobacz też

Menu nawigacyjne

Szukaj