Konwencja sumacyjna Einsteina

Konwencja sumacyjna Einsteina – skrótowy sposób zapisu równań polegający na pomijaniu znaków sumy we wzorach. Stosuje się go w celu zwiększenia przejrzystości zapisu.

Zasady konwencji

Jeżeli mamy sumowanie po jakimś indeksie, a indeks przebiega wszystkie swoje dozwolone wartości i występuje w sumowaniu dwa razy: raz jako wskaźnik górny, a raz dolny, to znak sumowania pomijamy.

Indeks (wskaźnik) sumacyjny nazywamy w takim wypadku wskaźnikiem niemym.

Przykłady

• $\sum _{j=0}^3{g}_{ij}{A}^j=g_{ij}{A}^j$ – indeksem sumacyjnym (niemym) jest wskaźnik $j$
• $\sum _{\nu =0}^3\sum _{\lambda =0}^3\sum _{\delta =0}^3{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \delta }^{\mu \lambda }{b}^{\nu }{c}_{\lambda }{d}^{\delta }={\mathrm{\Gamma }}_{\nu \delta }^{\mu \lambda }{b}^{\nu }{c}_{\lambda }{d}^{\delta }$ – indeksy nieme to $\nu ,$ $\lambda$ i $\delta ;$ normalnym wskaźnikiem jest $\mu$
• iloczyn macierzy

  $(A\cdot B{)}_i^k=\sum _j{A}_{ij}{B}^{jk}=A_{ij}{B}^{jk}$

• iloczyn skalarny wektorów

  $𝐚\mathbf{\cdot }𝐛=\sum _i\sum _j{g}_{ij}{a}^i{b}^j=g_{ij}{a}^i{b}^j$

  gdzie $g_{ij}$ – składowe kowariantnego tensora metrycznego

• wartość formy liniowej na wektorze

  $𝐟\mathbf{\cdot }𝐛=\sum _i{f}_i{b}^i=f_i{b}^i$

• mnożenie wektora przez macierz

  $𝐀\mathbf{\cdot }𝐛=\sum _j{A}_j^i{b}^j=A_j^i{b}^j$

• dywergencja pola wektorowego

  $\mathrm{div}𝐚=\sum _i{\partial }_i{a}^i={\partial }_i{a}^i$

Zobacz też

• konwencje w teoriach relatywistycznych
• iloczyn tensorowy
• działania określone po składowych

Bibliografia

• P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1958.
• John Lighton Synge: Rachunek tensorowy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld