Dywergencja

Funkcja wektorowa R2 → R2 i jej dywergencja reprezentowana przez pole skalarne

Dywergencja, in. rozbieżność, źródłowość pola wektorowego – operator różniczkowy przyporządkowujący polu wektorowemu w przestrzeni euklidesowej 3-wymiarowej pole skalarne będące formalnie iloczynem skalarnym operatora nabla z wektorem pola.

Operator ten uogólnia się na przestrzenie euklidesowe $n$-wymiarowe z dowolnymi układami współrzędnych krzywoliniowych oraz na dowolne przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie.

Dywergencja w układzie współrzędnych kartezjańskich

Założenia:

Dana jest funkcja $𝐅:U\to {ℝ}^3$ określona na zbiorze otwartym $U\subseteq {ℝ}^3$klasy $C^1$ (tj. taka że jej pochodne cząstkowe ze względu na każdą ze zmiennych $x,y,z$ są funkcjami ciągłymi); funkcja ta ma w wybranym układzie współrzędnych trzy funkcje składowe i nazywana jest polem wektorowym w przestrzeni ${ℝ}^3$

$𝐅=(F_1,F_2,F_3).$

Definicja:

Dywergencją $\mathrm{div}𝐅$ pola wektorowego $𝐅$ nazywa się pole skalarne będące sumą pochodnych cząstkowych funkcji składowych $F_i$ pola wektorowego $𝐅$ po odpowiednich współrzędnych, tj.

$\mathrm{div}𝐅(x,y,z)=\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial F_2(x,y,z)}{\partial y}+\frac{\partial F_3(x,y,z)}{\partial z},$

co można zapisać symbolicznie

$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅,$

gdzie:

$\mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})=𝐢\frac{\partial }{\partial x}+𝐣\frac{\partial }{\partial y}+𝐤\frac{\partial }{\partial z}$ – operator wektorowy nabla

symbol $\cdot$ oznacza mnożenie skalarne operatora wektorowego nabla z wektorem pola.

Dywergencja we współrzędnych krzywoliniowych

W dowolnych współrzędnych krzywoliniowych $q_1,\dots ,q_n$ przestrzeni $n$-wymiarowej euklidesowej lub przestrzeni pseudoeuklidesowej (i ogólniej – w przestrzeni riemannowskiej lub pseudoriemannowskiej) dywergencję w danym punkcie wyraża wzór

$\mathrm{div}(F)=\frac{1}{\sqrt{|g|}}{\partial }_a\left(\sqrt{|g|}{F}^a\right),$

gdzie:

$|g|$ – moduł wyznacznika tensora metrycznego współrzędnych krzywoliniowich obliczony w danym punkcie,

${\partial }_a\equiv \frac{\partial }{\partial q_a}$ – pochodna cząstkowa po współrzędnej krzywoliniowej $q_a,$

$F=[F_1,\dots ,F_n]$ – dane pole wektorowe w przestrzeni $n$-wymiarowej.

W powyższym wzorze trzeba wykonać sumowanie po powtarzającym się indeksie $a$ przyjmując $a=1,\dots ,n.$

Współrzędne sferyczne

Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać dywergencji w układzie współrzędnych sferycznych $r,\theta ,\phi .$ Jeżeli pole wektorowe wyrazi się w lokalnej bazie współrzędnych sferycznych

$𝐅={𝐞}_r{F}_r+{𝐞}_{\theta }{F}_{\theta }+{𝐞}_{\phi }{F}_{\phi },$

to dywergencja ma postać:

$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2{F}_r\right)+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta F_{\theta })+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial F_{\phi }}{\partial \phi }.$

Współrzędne walcowe

Z ogólnego wzoru można otrzymać postać dywergencji w układzie współrzędnych walcowych $\rho ,\theta ,z.$

Jeżeli pole wektorowe wyrazi się w lokalnej bazie współrzędnych walcowych

$𝐅={𝐞}_r{F}_r+{𝐞}_{\theta }{F}_{\theta }+{𝐞}_z{F}_z,$

to dywergencja ma postać:

$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{F}_r\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial F_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{\partial F_z}{\partial z}.$

Definicja geometryczna dywergencji

(1) Twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego

Dywergencję można zdefiniować najogólniej nie odwołując się do układu współrzędnych, a korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego, które mówi, że:

Jeżeli $V$ jest zwartym podzbiorem przestrzeni ${ℝ}^3,$ którego brzeg $\partial V$ jest dodatnio zorientowany oraz kawałkami gładki, a $𝐅$ jest polem wektorowym klasy $C^1,$ określonym na zbiorze otwartym, zawierającym $V,$ to

$\underset{V}{\iiint }\mathrm{div}𝐅dV=\underset{\partial V}{\iint }𝐅\cdot 𝐧dS,$

gdzie:

$𝐧=𝐧(x,y,z)$ – jednostkowy wektor normalnym do infinitezymalnej powierzchni $dS$ w otoczeniu punktu $(x,y,z).$

(2) Definicja:

Dywergencją w punkcie $M$ zbioru $U$ nazywa się granicę całki obliczanej po powierzchni otaczającej punkt $M,$ uzyskaną poprzez ściąganie powierzchni $\partial V$ do punktu $M,$ tj.

$\mathrm{div}𝐅=\underset{|V|\to 0}{\lim }\frac{1}{|V|}\underset{\partial V}{\iint }𝐅\cdot 𝐧dS,$

gdzie $|V|$ – objętość obszaru $V$ zawartego w powierzchni $\partial V.$

Uwaga:

• $dS$ oznacza infinitezymalny element powierzchni; formalnie jest to 2-forma postaci $dx\wedge dy.$
• $dV$ oznacza infinitezymalny element objętości; formalnie jest to 3-forma postaci $dx\wedge dy\wedge dz.$

Dywergencja dla pola tensorowego 2 rzędu (z macierzy)

Dywergencja w kartezjańskim układzie współrzędnych dla różniczkowalnego w sposób ciągły tensora drugiego rzędu $𝐀$ zdefiniowanego następująco:

$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]$

jest polem wektorowym (tj. w wyniku w danym punkcie otrzymywany jest wektor kolumnowy, czyli kontrawariantny)

$\mathrm{div}(𝐀)=\mathrm{\nabla }\cdot {𝐀}^T=\frac{\partial A_{ik}}{\partial x_k}{𝐞}_i=A_{ik,k}{𝐞}_i=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial A_{11}}{\partial x_1}+\frac{\partial A_{12}}{\partial x_2}+\frac{\partial A_{13}}{\partial x_3}\\ \frac{\partial A_{21}}{\partial x_1}+\frac{\partial A_{22}}{\partial x_2}+\frac{\partial A_{23}}{\partial x_3}\\ \frac{\partial A_{31}}{\partial x_1}+\frac{\partial A_{32}}{\partial x_2}+\frac{\partial A_{33}}{\partial x_3}\end{array}\right].$

gdzie $T^{}$ oznacza transpozycję. Należy tutaj dodać, że w ogólności zachodzi następująca nierówność

$\mathrm{div}(𝐀)\ne \mathrm{\nabla }\cdot 𝐀$

gdzie:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=\frac{\partial A_{ki}}{\partial x_k}{𝐞}_i=A_{ki,k}{𝐞}_i=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial A_{11}}{\partial x_1}+\frac{\partial A_{21}}{\partial x_2}+\frac{\partial A_{31}}{\partial x_3}\\ \frac{\partial A_{12}}{\partial x_1}+\frac{\partial A_{22}}{\partial x_2}+\frac{\partial A_{32}}{\partial x_3}\\ \frac{\partial A_{13}}{\partial x_1}+\frac{\partial A_{23}}{\partial x_2}+\frac{\partial A_{33}}{\partial x_3}\end{array}\right]$

zatem dla tensorów drugiego rzędu powinniśmy rozróżniać powyższy operator $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀$ od dywergencji $\mathrm{div}(𝐀).$

Niemniej jednak jeśli tensor jest symetryczny tj. $A_{ij}=A_{ji}$ zachodzi równość $\mathrm{div}(𝐀)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀$ co jest przyczyną zamiennego stosowania tych operatorów w literaturze dotyczącej równań (związanych głównie z mechaniką) bazujących na założeniu symetrii tensora.

Twierdzenia

Następujące twierdzenia dowodzi się w oparciu o reguły różniczkowania.

Tw. 1

Dywergencja jest operatorem liniowym, tj.

$\mathrm{div}(a𝐅+b𝐆)=a\mathrm{div}𝐅+b\mathrm{div}𝐆$

dla dowolnych pół wektorowych $𝐅,𝐆$ i dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b.$

Tw. 2

Jeżeli Szablon:Mvar jest polem skalarnym, to

$\mathrm{div}(\phi 𝐅)=\mathrm{grad}(\phi )\cdot 𝐅+\phi \mathrm{div}𝐅$

lub równoważnie

$\mathrm{\nabla }\cdot (\phi 𝐅)=(\mathrm{\nabla }\phi )\cdot 𝐅+\phi (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅),$

gdzie $\mathrm{grad}(\phi )$ – gradient funkcji skalarnej.

Zastosowania

Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego zwane twierdzeniem o dywergencji), a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych np. z mechaniką płynów.

Interpretacja w mechanice płynów

Szablon:Zobacz też Rozważany jest problem przepływu cieczy nieściśliwej przy występowaniu źródeł (albo wycieków). Wydajnością źródeł wewnątrz zamkniętej powierzchni $S$ nazywa się ilość cieczy wypływającej z powierzchni $S$ w jednostce czasu. Innymi słowy, wydajność źródeł to strumień wektora prędkości $𝐯,$ to znaczy

$\underset{S}{\iint }𝐯\cdot 𝐧dS.$

Dla źródeł w danym obszarze rozłożonych w sposób ciągły, można wprowadzić pojęcie ich gęstości, to znaczy granicę wydajności źródeł w obszarze $V,$ które zawierają punkt $M$ na jednostkę objętości, tzn.

$\underset{|V|\to 0}{\lim }\frac{1}{|V|}\underset{\partial V}{\iint }𝐯\cdot 𝐧dS,$

co oznacza, że dywergencja pola prędkości cieczy jest w powyższym przykładzie gęstością źródeł.

Zobacz też

Szablon:Wikisłownik (1) Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego

• operator d’Alemberta

(2) Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej

• gradient
• operator Laplace’a
• operator nabla w różnych układach współrzędnych
• rotacja

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• L.D. Landau, J.M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa 2009.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Divergence Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].