Pole wektorowe

Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni ${ℝ}^2$

Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni ${ℝ}^3$

Pole wektorowe – funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.

Definicja pola wektorowego

Niech $(X,\mu )$ będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy rodzinę przestrzeni Hilberta $(H_x{)}_{x\in X}$. Elementy produktu $\prod _{x\in X}{H}_x$ nazywamy polami wektorowymi.

Rodziną fundamentalną pól $\mu$-mierzalnych nazywamy rodzinę $\mathrm{\Gamma }=(h^{\alpha }{)}_{\alpha \in \mathrm{A}}$ spełniającą warunki:

1. funkcja $X\ni x\mapsto (h^{\alpha }(x)|h^{\beta }(x){)}_x\in ℂ$ jest $\mu$-mierzalna dla $\alpha ,\beta \in \mathrm{A}.$
2. $\text{lin}\{(h^{\alpha }(x){)}_{\alpha \in \mathrm{A}}\}=H_x$ dla każdego $x\in X.$

Pole wektorowe

$h\in \prod _{x\in X}{H}_x$

nazywamy mierzalnym, gdy wszystkie funkcje $x\mapsto (h^{\alpha }(x)|h^{\beta }(x){)}_x$ są $\mu$-mierzalne.

Pola $\mu$-mierzalne stanowią podprzestrzeń liniową produktu $\prod _{x\in X}{H}_x$.

Przykłady pól wektorowych

Przykładami pól wektorowych znanymi z fizyki są:

• pole grawitacyjne – pole wektorów natężenia pola grawitacyjnego,
• pole elektryczne – pole wektorów natężenia pola elektrycznego,
• pole magnetyczne – pole wektorów indukcji magnetycznej,
• pole prędkości i potencjał zespolony przepływu – określa prędkość przepływu płynu w każdym punkcie przestrzeni.

Teoretycznym badaniem pól fizycznych zajmuje się dział fizyki zwany teorią pola. W teorii tej pola przedstawiane są jako funkcje matematyczne.

Operacje różniczkowe na polach wektorowych

Dywergencja pola

Dywergencją pola wektorowego $𝐀(\overrightarrow{r})=[A_x(\overrightarrow{r}),A_y(\overrightarrow{r}),A_z(\overrightarrow{r})]$ określonego w punktach $\overrightarrow{r}=(x,y,z)$ przestrzeni ${ℝ}^3$ nazywa się pole skalarne $\varphi (\overrightarrow{r})$ równe sumie odpowiednich pochodnych cząstkowych, obliczonych na składowych $A_x,A_y,A_z$ wektora $𝐀$

$\varphi (\overrightarrow{r})=\text{div}𝐀(\overrightarrow{r})=\frac{\partial A_x(\overrightarrow{r})}{\partial x}+\frac{\partial A_y(\overrightarrow{r})}{\partial y}+\frac{\partial A_z(\overrightarrow{r})}{\partial z}.$

Pole skalarne będące dywergencją pola wektorowego jest różne od zera w punktach, gdzie są źródłami pola wektorowego (np. pole elektrostatyczne ma dywergencję różną od zera w punktach, gdzie znajdują się ładunki elektryczne). Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Dywergencja.

Rotacja pola

Rotacją pola wektorowego $𝐀(x,y,z)$ nazywa się pole wektorowe takie że

$𝐁(x,y,z)=\text{rot}𝐀=(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})𝐢+(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})𝐣+(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})𝐤.$

Rotacja przypisuje polu wektorowemu inne pole wektorowe. Jeśli rotacja $\text{rot}𝐀(x,y,z)$ jest różne od zera w punkcie $(x,y,z),$ to oznacza że wokół tego punktu pole wektorowe $𝐀(x,y,z)$ wiruje.

Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Rotacja.

Zobacz też

• dywergencja pola
• gradient pola
• pole skalarne
• pole tensorowe
• rotacja pola
• teoria pola

Literatura

• Szablon:Cytuj książkę