Pole tensorowe

Pole tensorowe – pole, które każdemu punktowi przestrzeni $n$-wymiarowej przypisuje pewien tensor. Pole tensorowe jest opisywane przez $N=n^r$ funkcji o $n$ zmiennych, gdzie $r$ – rząd tensora, czyli liczba jego indeksów.

Oznaczenia pól tensorowych

Funkcje, za pomocą których opisuje się pole tensorowe, zazwyczaj oznacza się symbolami z ciągiem indeksów, np. w postaci

$A^{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r},$ ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r=1,\dots ,n$

gdzie $r$ – jest rzędem tensora. Liczba funkcji wynosi $N=n^r.$

Wartości $A^{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r}(x_1,\dots ,x_r)$ funkcji pola tensorowego w danym punkcie $(x_1,\dots ,x_n)$ przy ustalonych wartościach indeksów nazywa się współrzędnymi tensora w tym punkcie.

Np. w przestrzeni $3$-wymiarowej tensor 2. rzędu jest reprezentowany przez zespół $n^r=3^2=9$ funkcji postaci $A^{{\alpha }_1,{\alpha }_2}(x,y,z),$ które mają $2$ indeksy; funkcje te reprezentuje się zazwyczaj za pomocą macierzy $3\times 3$ $\begin{array}{cc}𝐀(x,y,z)& =\left[\begin{array}{ccc}{A}^{11}(x,y,z)& A^{12}(x,y,z)& A^{13}(x,y,z)\\ A^{21}(x,y,z)& A^{22}(x,y,z)& A^{23}(x,y,z)\\ A^{31}(x,y,z)& A^{32}(x,y,z)& A^{33}(x,y,z)\end{array}\right]\end{array},$

a np. wartość $A^{1,2}(x,y,z)$ jest współrzędną 1,2 tensora w punkcie $(x,y,z).$

Szczególne przypadki pól tensorowych

• pola skalarne – pola, które punktom przestrzeni przypisują pojedyncze liczby (tensor zerowego rzędu jest skalarem)
• pola wektorowe – pola, które punktom przestrzeni przypisują wielkości wektorowe (tensor pierwszego rzędu jest wektorem)

Twierdzenia

Tw. 1: Pole gradientu pola skalarnego jest polem wektorowym.

Tw. 2: Pole pochodnych cząstkowych pola wektorowego jest polem tensorowym (w niekrzywoliniowym układzie współrzędnych).

Zobacz też

Zagadnienia związane z pojęciem pola tensorowego

• iloczyn skalarny
• iloczyn tensorowy
• iloczyn wektorowy
• teoria pola
• współrzędne tensora

Przykłady tensorów

• tensor energii-pędu
• tensor metryczny
• tensor naprężeń
• tensor pola elektromagnetycznego

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974.