Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta ${\mathscr{H}}_1$ i ${\mathscr{H}}_2$ – przestrzeń Hilberta, utworzona z iloczynu tensorowego przestrzeni ${\mathscr{H}}_1$ i ${\mathscr{H}}_2$ traktowanych jako przestrzenie liniowe, z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym.

Definicja iloczynu tensorowego przestrzeni Hilberta

Iloczynem tensorowym ${\mathscr{H}}_1\otimes {\mathscr{H}}_2$ przestrzeni Hilberta ${\mathscr{H}}_1$ i ${\mathscr{H}}_2$ nazywa się przestrzeń Hilberta, taką że:

(1) bazę przestrzeni stanowi zbiór wektorów

$\{e_1\otimes e_2:e_1\in {ℰ}_1,e_2\in {ℰ}_2\},$

gdzie:

${ℰ}_1$ i ${ℰ}_2$ – bazy ortonormalne odpowiednio w przestrzeni ${\mathscr{H}}_1$ i ${\mathscr{H}}_2,$

$e_1\otimes e_2$ – Iloczyn Kroneckera wektorów baz $e_1$ i $e_2.$

(2) iloczyn skalarny w tej przestrzeni jest zdefiniowany następująco:

jeżeli ${\mathscr{H}}_1$ i ${\mathscr{H}}_2$ są przestrzeniami Hilberta z iloczynami skalarnymi, odpowiednio, $⟨\cdot |\cdot {⟩}_1$ i $⟨\cdot |\cdot {⟩}_2,$ to iloczyn skalarny w przestrzeni ${\mathscr{H}}_1\otimes {\mathscr{H}}_2$ definiuje wzór

$⟨{\varphi }_1\otimes {\varphi }_2|{\psi }_1\otimes {\psi }_2⟩=⟨{\varphi }_1|{\psi }_1{⟩}_1⟨{\varphi }_2|{\psi }_2{⟩}_2,$

gdzie:

${\varphi }_1,{\psi }_1\in {\mathscr{H}}_1,{\varphi }_2,{\psi }_2\in {\mathscr{H}}_2.$

Ponieważ iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta oznacza się takim samym symbolem, jak iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych $(\otimes )$ typ iloczynu wynika z kontekstu:

• przestrzenie liniowe, do których należą również przestrzenie Hilberta, mogą nie mieć zadanego iloczynu skalarnego; wówczas ich iloczyn tensorowy jest po prostu przestrzenią liniową, o bazie zadanej jak wyżej;
• iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta ma dodatkową strukturę, zadaną przez definicję iloczynu skalarnego; wówczas ich iloczyn tensorowy jest przestrzenią unitarną.

Własności

(1) Iloczyn tensorowy ${\mathscr{H}}_1\otimes {\mathscr{H}}_2$ jest przestrzenią Hilberta $\mathscr{H}$ o wymiarze równym iloczynowi wymiarów przestrzeni ${\mathscr{H}}_1$ i ${\mathscr{H}}_2.$

(2) W iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta występują wektory, których nie da się przedstawić w postaci iloczynu tensorowego wektorów składowych ${\phi }_1(i)\otimes {\varphi }_2(j),$ takich że ${\varphi }_1(i)\in {\mathscr{H}}_1$ i ${\varphi }_2(j)\in {\mathscr{H}}_2,$ ale które są w ogólności dowolnymi kombinacjami liniowymi takich wektorów, tj. $\sum _{i,j}{a}_{ij}{\phi }_1(i)\otimes {\psi }_2(j).$ Przykłady takich wektorów podano w Przykładzie 2.

Przykład 1: Iloczyn tensorowy przestrzeni 2-wymiarowych

Rozważmy dwie przestrzenie Hilberta (w przedstawionych przykładach do oznaczenia wektorów przestrzeni Hilberta użyto notacji Diraca):

${\mathscr{H}}_1$ z bazą $\{|0{⟩}_1,|1{⟩}_1\},$

${\mathscr{H}}_2$ z bazą $\{|0{⟩}_2,|1{⟩}_2\}.$

Iloczyn tensorowy ${\mathscr{H}}_1\otimes {\mathscr{H}}_2$ tych przestrzeni jest przestrzenią Hilberta $\mathscr{H}$ o wymiarze równym $4,$ przy czym bazę tworzą iloczyny tensorowe wektorów bazowych przestrzeni ${\mathscr{H}}_1$ przez wektory bazowe przestrzeni ${\mathscr{H}}_2:$

$\{|0{⟩}_1\otimes |0{⟩}_2,|0{⟩}_1\otimes |1{⟩}_2,|1{⟩}_1\otimes |0{⟩}_2,|1{⟩}_1\otimes |1{⟩}_2\}.$

Jeżeli wektory bazy przedstawimy w bazie standardowej, jako ortonormalne kety

$|0{⟩}_1={\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}_1,$ $|1{⟩}_1={\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]}_1$

oraz

$|0{⟩}_2={\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}_2,$ $|1{⟩}_2={\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]}_2$

wówczas ich iloczyny tensorowe (iloczyny Kroneckera) to:

$|0{⟩}_1\otimes |0{⟩}_2={\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}_1\otimes {\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}_2=\left[\begin{array}{c}1\cdot {\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}_2\\ 0\cdot {\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],$

$|0{⟩}_1\otimes |1{⟩}_2={\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}_1\otimes {\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]}_2=\left[\begin{array}{c}1\cdot {\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]}_2\\ 0\cdot {\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],$

$|1{⟩}_1\otimes |0{⟩}_2={\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]}_1\otimes {\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}_2=\left[\begin{array}{c}0\cdot {\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}_2\\ 1\cdot {\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],$

$|1{⟩}_1\otimes |1{⟩}_2={\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]}_1\otimes {\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]}_2=\left[\begin{array}{c}0\cdot {\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]}_2\\ 1\cdot {\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$

Widać, że iloczyny tensorowe ketów $|0⟩$ i $|1⟩$ (tj. wektorów kolumnowych o 2 współrzędnych) tworzą kety o 4 współrzędnych. Powyższe wektory są unormowane do jedności i wzajemnie ortogonalne, dlatego tworzą bazę ortonormalną 4-wymiarowej przestrzeni Hilberta ${\mathscr{H}}_1\otimes {\mathscr{H}}_2.$ Iloczyny tensorowe wektorów bra bazy (reprezentowane przez wektory wierszowe) utworzyłyby oczywiście wektory bra o 4 współrzędnych. Gdyby natomiast wektory bazy przestrzeni ${\mathscr{H}}_1$ zapisać w postaci wektorów ket (kolumnowych), a wektory bazy przestrzeni ${\mathscr{H}}_2$ w postaci wektorów bra (wierszowych), to iloczyn tensorowy wektorów baz tworzących bazę przestrzeni ${\mathscr{H}}_1\otimes {\mathscr{H}}_2$ miałby postać macierzy 2 × 2. Jeżeli np. wektory bazy przedstawimy w bazie standardowej, jako kety:

$|0{⟩}_1={\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}_1,$ $|1{⟩}_1={\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]}_1$

oraz bra

$⟨0{|}_2={\left[\begin{array}{c}1,0\end{array}\right]}_2,$ $⟨1{|}_2={\left[\begin{array}{c}0,1\end{array}\right]}_2,$

wtedy otrzymamy iloczyny diadyczne (zwane również iloczynami zewnętrznymi):

$|0{⟩}_1\otimes ⟨0{|}_2={\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}_1\otimes {\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]}_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right],$

$|0{⟩}_1\otimes ⟨1{|}_2={\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}_1\otimes {\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]}_2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],$

$|1{⟩}_1\otimes ⟨0{|}_2={\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]}_1\otimes {\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]}_2=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right],$

$|1{⟩}_1\otimes ⟨1{|}_2={\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]}_1\otimes {\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]}_2=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right].$

Z powyższego widać, że możliwe są różne reprezentacje wektorów baz rozważanych przestrzeni.

Przykład 2: Stan splątany 2 cząstek

Załóżmy, że mamy dwie cząstki opisane stanami:

$|\psi {⟩}_1=a|0{⟩}_1+b|1{⟩}_1,$

$|\varphi {⟩}_2=c|0{⟩}_2+d|1{⟩}_2.$

Stany te należą do różnych przestrzeni Hilberta ${\mathscr{H}}_1$ i ${\mathscr{H}}_2$ ponieważ dotyczą różnych cząstek. Iloczyn tensorowy powyższych stanów ma postać:

$|\psi {⟩}_1\otimes |\varphi {⟩}_2=(a|0{⟩}_1+b|1{⟩}_1)\otimes (c|0{⟩}_2+d|1{⟩}_2),$

czyli (pomijając symbol iloczynu tensorowego po prawej stronie równania):

$|\psi {⟩}_1\otimes |\varphi {⟩}_2=ac|0{⟩}_1|0{⟩}_2+ad|0{⟩}_1|1{⟩}_2+bc|1{⟩}_1|0{⟩}_2+bd|1{⟩}_1|1{⟩}_2.$

Jednak najbardziej ogólny stan powyższych cząstek zwany stanem splątanym, nie da się sprowadzić do powyższego iloczynu tensorowego. Ma postać dowolnej kombinacji liniowej wektorów bazowych, tj.

$|\xi {⟩}_{12}=\alpha |0{⟩}_1|0{⟩}_2+\beta |0{⟩}_1|1{⟩}_2+\gamma |1{⟩}_1|0{⟩}_2+\delta |1{⟩}_1|1{⟩}_2,$

gdzie:

$\alpha \ne ac$ lub $\beta \ne ad$ lub $\gamma \ne bc$ lub $\delta \ne bd,$ zachowując jednak warunek normalizacji tj. $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2+|\gamma {|}^2+|\delta {|}^2=1.$

Na przykład dla stanów stanowiących równomierną superpozycję standardowych wektorów bazowych (stany takie można otrzymać za pomocą unitarnej transformacji Hadamarda):

$|+{⟩}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0{⟩}_1+|1{⟩}_1),$ $|-{⟩}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0{⟩}_2-|1{⟩}_2)$

iloczyn tensorowy ma postać:

$|+{⟩}_1\otimes |-{⟩}_2=\frac{1}{2}(|0{⟩}_1|0{⟩}_2-|0{⟩}_1|1{⟩}_2+|1{⟩}_1|0{⟩}_2-|1{⟩}_1|1{⟩}_2),$

natomiast stan splątany może mieć dowolne (znormalizowane) współczynniki, np.:

$|\xi {⟩}_{12}=i\frac{1}{\sqrt{3}}|0{⟩}_1|0{⟩}_2+\frac{1+i}{\sqrt{12}}|0{⟩}_1|1{⟩}_2+\sqrt{\frac{6}{12}}|1{⟩}_1|1{⟩}_2,$

(gdzie $\gamma =0$). W sensie matematycznym stany kwantowe stanowią surjektywną izometrię wektorów bazowych; stan kwantowy może nie zawierać wszystkich wektorów bazowych, jednak musi być znormalizowany. Cztery poniższe stany splątane zwane „stanami Bell’a” tworzą na przykład maksymalnie splątaną bazę czterowymiarowej przestrzeni Hilberta dwóch kubitów:

$|{\varphi }^{+}{⟩}_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0{⟩}_1|0{⟩}_2+|1{⟩}_1|1{⟩}_2),$

$|{\varphi }^{-}{⟩}_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0{⟩}_1|0{⟩}_2-|1{⟩}_1|1{⟩}_2),$

$|{\psi }^{+}{⟩}_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0{⟩}_1|1{⟩}_2+|1{⟩}_1|0{⟩}_2),$

$|{\psi }^{-}{⟩}_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0{⟩}_1|1{⟩}_2-|1{⟩}_1|0{⟩}_2).$

Stany splątane należą do iloczynu tensorowego ${\mathscr{H}}_1\otimes {\mathscr{H}}_2$ przestrzeni Hilberta ${\mathscr{H}}_1$ i ${\mathscr{H}}_2,$ jednak nie da się ich otrzymać poprzez tensorowe mnożenie stanu należącego do przestrzeni ${\mathscr{H}}_1$ i stanu należącego do przestrzeni ${\mathscr{H}}_2.$ Stany splątane są więc stanami szczególnymi. Z racji swoich niezwykłych własności wykorzystuje się je m.in. w komputerach kwantowych, przewyższających szybkością obliczeń powszechne dotąd komputery klasyczne.

Przykład 3: Obliczanie iloczynu skalarnego

Jeżeli dane są dwa stany $|\psi {⟩}_1$ i $|\varphi {⟩}_2$ należące odpowiednio do przestrzeni Hilberta ${\mathscr{H}}_1$ i ${\mathscr{H}}_2,$ takie że

$|\psi {⟩}_1=a|0{⟩}_1+b|1{⟩}_1,$

$|\varphi {⟩}_2=c|0{⟩}_2+d|1{⟩}_2,$

to ich iloczyn tensorowy ma postać (por. Przykład 2):

$|\psi {⟩}_1\otimes |\varphi {⟩}_2=ac|0{⟩}_1|0{⟩}_2+ad|0{⟩}_1|1{⟩}_2+bc|1{⟩}_1|0{⟩}_2+bd|1{⟩}_1|1{⟩}_2.$

Iloczyn skalarny powyższego wektora oblicza się licząc iloczyny skalarne wektorów należących do tej samych przestrzeni Hilberta ${\mathscr{H}}_1$ lub ${\mathscr{H}}_2,$ tj.:

$⟨\psi {|}_1\otimes ⟨\varphi {|}_2|\psi {⟩}_1\otimes |\varphi {⟩}_2=⟨\psi |\psi {⟩}_1\otimes ⟨\varphi |\varphi {⟩}_2=\dots =(|a{|}^2+|b{|}^2)(|c{|}^2+|d{|}^2).$

Przykład 4: Iloczyn tensorowy przestrzeni L²

Jeżeli $\mu$ i $\nu$ są miarami σ-skończonymi, to istnieje dokładnie jeden taki izomorfizm iloczynu tensorowego

$L^2(\mu )\otimes L^2(\nu )$

na przestrzeń

$L^2(\mu \otimes \nu ),$

że $f\otimes g\mapsto fg.$ Symbol $\mu \otimes \nu$ oznacza miarę produktową miar $\mu$ i $\nu .$

W przypadku, gdy zbiór $A$ jest dowolnym zbiorem oraz $\mu$ jest miarą liczącą na $A,$ to

$L^2(\mu )={\ell }^2(A)$

Jeżeli zbiór $A$ jest nieprzeliczalny, to miara $\mu$ nie jest σ-skończona. Pomimo tego, nawet w przypadku, gdy któryś ze zbiorów $A$ lub $B$ jest nieprzeliczalny, iloczyn tensorowy

${\ell }^2(A)\otimes {\ell }^2(B)$

jest izometryczny z przestrzenią

${\ell }^2(A\times B).$

Zobacz też

• iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych
• iloczyn tensorowy operatorów nieograniczonych
• iloczyn tensorowy operatorów ograniczonych

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Guściora H., Sadowski M., Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 2, Wiley J., 2006, Szablon:ISBN.