Iloczyn tensorowy operatorów ograniczonych

Iloczynem tensorowym operatorów ograniczonych $T_1,...,T_n$ określonych na przestrzeniach Hilberta ${\mathscr{H}}_1,...,{\mathscr{H}}_n$ nazywa się operator $T\equiv T_1\otimes ...\otimes T_n\equiv \underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{T}_i$ taki że:

• dziedziną operatora $T$ jest iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta, tj.

  $D(T)={\mathscr{H}}_1\otimes {\mathscr{H}}_2\cdots \otimes {\mathscr{H}}_n$

  (ogólniej: jeżeli dziedzinami operatorów $T_i$ są podprzestrzenie odpowiednich przestrzeni Hilberta ${\mathscr{H}}_i,$ tj. $D(T_i)\subseteq {\mathscr{H}}_i$ to dziedziną operatora $T$ jest iloczyn tensorowy tych podprzestrzeni)

• wynik działania operatora $T$ na wektor $u=u_1\otimes \cdots \otimes u_n$ – iloczyn tensorowy wektorów $u_1\in {\mathscr{H}}_1,...,u_n\in {\mathscr{H}}_n,$ należący do dziedziny $D(T)$ operatora $T,$ jest równy iloczynowi tensorowemu wektorów $T_1(u_1),...,T_n(u_n),$ tj.

  $T(u)=T_1(u_1)\otimes T_2(u_2)\cdots \otimes T_n(u_n)$

  czyli

  $T_1\otimes ...\otimes T_n(u_1\otimes \cdots \otimes u_n)=T_1(u_1)\otimes T_2(u_2)\cdots \otimes T_n(u_n)$

Iloczyn tensorowy operatorów samosprzężonych

Twierdzenie:

Jeżeli

(1) ${\mathscr{H}}_i,$ $i=1,...,n$ są skończenie wymiarowymi przestrzeniami Hilberta o wymiarach $m_i,$

(2) $T_i$ są operatorami samosprzężonymi określonymi na przestrzeniach ${\mathscr{H}}_i,$ oraz

• $\{{\lambda }_{ij}{\}}_{j=1}^{m_i}$ jest zbiorem wartości własnych operatora $T_i,$
• $\{e_{ij}{\}}_{j=1}^{m_i}$ jest bazą ortonormalną złożoną z wektorów własnych odpowiadających wartościom własnym operatora $T_i$

(3) Operator $T:\mathscr{H}\to \mathscr{H},$ gdzie

$\mathscr{H}:=\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{\mathscr{H}}_i$ – iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

zadany jest wzorem

$T\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{e}_{i{j}_i}=\underset{i=1}{\overset{j}{⨂}}{T}_i{e}_{i{j}_i},j_i\in \{1,\dots ,m_i\}$

(przy czym określenie operatora wyłącznie na wektorach bazy jest wystarczające, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie)

to słuszne są następujące własności:

(1) operator $T:\mathscr{H}\to \mathscr{H}$ jest również operatorem samosprzężonym

(2) Wartościami własnymi operatora $T$ są liczby

$\prod _{i=1}^n{\lambda }_{ij}$

(3) dla wszystkich $u_i\in {\mathscr{H}}_i,$ $i=1,...,n$ słuszne są równości

$T\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{u}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{T}_i{u}_i$

(4) norma operatora $T$ jest iloczynem norm poszczególnych operatorów $T_i,$ gdyż:

$\begin{array}{cc}\Vert T\Vert & =\max \{|\prod _{i=1}^n{\lambda }_{i{j}_i}|:1\le j_i\le m_i\}\\ & =\prod _{i=1}^n\max \{|{\lambda }_{ij}|:1\le j\le m_i\}\\ & =\prod _{i=1}^n\Vert T_i\Vert \end{array}$

Iloczyn tensorowy operatorów ograniczonych

Jeżeli

• ${\mathscr{H}}_i$ są przestrzeniami Hilberta
• $T_i$ są operatorami ograniczonymi na ${\mathscr{H}}_i,$ gdzie $i=1,...,n,$

to istnieje dokładnie jeden taki operator ograniczony $T$ na

$\mathscr{H}=\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{\mathscr{H}}_i,$

że

$T\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{u}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{T}_i{u}_i$

dla wszystkich $u_i\in {\mathscr{H}}_i.$ Ponadto

$\Vert T\Vert =\prod _{i=1}^n\Vert T_i\Vert .$

Operator $T$ nazywany jest iloczynem tensorowym operatorów $T_i$ i oznaczany symbolem

$\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{T}_i.$

Definicja n-tej potęgi tensorowej operatora

Jeżeli ${\mathscr{H}}_1={\mathscr{H}}_2=\dots ={\mathscr{H}}_n\equiv \mathscr{H}$ oraz $T_1=T_2=\dots =T_n\equiv S,$ to używa się zapisu

$\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{T}_i\equiv S^{\otimes n}$

Operator $S^{\otimes n}$ nazywany jest n-tą potęgą tensorową operatora $S.$

Własności

Dla przestrzeniami Hilberta ${\mathscr{H}}_i$ oraz liniowych operatorów ograniczonych $S_i,$ $T_i$ określonych na przestrzeniach Hilberta ${\mathscr{H}}_i,$ gdzie $i=1,...,n$ niech

$S:=\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{S}_i,T:=\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{T}_i.$

Wówczas:

• Odwzorowanie $(T_1,T_2,\dots ,T_n)\mapsto T$ jest n-liniowe.
• $ST=\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{S}_i{T}_i$
• $T^{*}=\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{T}_i^{*},$
• Jeżeli dla każdego $i=1,...,n$ operator odwrotny do $T_i$ istnieje i jest ograniczony to operator odwrotny do operatora $T$ jest również ograniczony.

Ponadto

$T^{-1}=\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{T}_i^{-1}$

• Jeśli $T_i$ jest samosprzężony, unitarny lub normalny dla każdego $i=1,...,n$ to operator $T$ również.
• Operator $T$ jest dodatni, jeśli dla każdego $i=1,...,n$ operator $T_i$ jest dodatni.
• Jeśli $T_i=|u_i⟩⟨v_i|$ (zob. notacja Diraca), gdzie $u_i,v_i\in {\mathscr{H}}_i$ dla każdego $i=1,...,n$ wówczas

$T=|u_1\otimes u_2\otimes \dots \otimes u_n⟩⟨v_1\otimes v_2\otimes \dots \otimes v_n|.$

• Jeżeli $T$ i $S$ są operatorami ograniczonymi na przestrzeniach Hilberta, których widmami są odpowiednio zbiory $\sigma (T)$ i $\sigma (S),$ to widmem iloczynu tensorowego $T\otimes S$ jest zbiór

$\sigma (T)\cdot \sigma (S)=\{t\cdot s:t\in \sigma (T),s\in \sigma (S)\}$.

Zobacz też

• operator ograniczony