Notacja Diraca

Notacja Diraca (nawiasy Diraca, notacja bra-ket) – wprowadzony w 1939 przez Paula Diraca do mechaniki kwantowej, sposób zapisywania działania form liniowych na stany kwantowe.

• tzw. ket, zapisywany „$|v⟩$”, oznacza wektor $v$ w zespolonej przestrzeni liniowej $V$ (zwykle przestrzeni Hilberta); fizyczna interpretacja to stan kwantowy pewnego układu.

• tzw. bra, zapisywane „$⟨f|$”, oznacza funkcjonał liniowy $f:V\to ℂ$ na przestrzeni (gdy $V$ jest przestrzenią Hilberta, zapis ten oznacza zwykle ciągły funkcjonał liniowy).

Działanie funkcjonału $⟨f|$ na wektorze $|v⟩$ zapisywane jest jako $⟨f|v⟩.$

Nazwy te biorą się z oznaczania iloczynu skalarnego dwóch stanów za pomocą nawiasu $⟨\varphi |\psi ⟩.$ Po angielsku nawias to bracket, i stąd lewa i prawa część nawiasu to odpowiednio bra i ket. Notacja Diraca inspirowana była notacją używaną przez Grassmanna w operacjach na iloczynie skalarnym $[\varphi |\psi ]$ prawie 100 lat wcześniej.

Przestrzeń wektorowa

Wstęp

Szablon:Osobny artykuł Aby lepiej wyobrazić sobie, czym jest notacja Diraca, dobrze jest rozpatrzyć wektor $\overrightarrow{A}$ w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej rozpiętej nad ciałem liczb rzeczywistych, co zapiszemy: $\overrightarrow{A}\in V=ℒ(ℝ):\dim V=3.$

Wektor $\overrightarrow{A}$ może być zapisany jako liniowa kombinacja wektorów bazowych:

$\begin{array}{c}\overrightarrow{A}=A_1{\overrightarrow{e}}_1+A_2{\overrightarrow{e}}_2+A_3{\overrightarrow{e}}_3=\left(\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{e}}_1& {\overrightarrow{e}}_2& {\overrightarrow{e}}_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\end{array}\right),\end{array}$

gdzie wektory ${\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2,{\overrightarrow{e}}_3$ są liniowo niezależne (a więc tworzą bazę), a liczby $A_1,A_2,A_3$ to odpowiadające im współrzędne.

W ogólności kiedy wektor $\overrightarrow{A}$ znajduje się w N-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem $𝔽$ (gdzie $𝔽$ to np. $ℝ$ lub $ℂ$), wektor $\overrightarrow{A}$ jest nadal kombinacją liniową wektorów bazowych:

$\overrightarrow{A}=\sum _{n=1}^N{A}_n{\overrightarrow{e}}_n=\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ ⋮\\ A_N\end{array}\right).$

Jednak $\overrightarrow{A}$ może być wektorem w zespolonej przestrzeni Hilberta, a taka przestrzeń może mieć nieskończoną liczbę wymiarów. Wtedy w reprezentacji macierzowej byłoby nieskończenie wiele współrzędnych zespolonych. Przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń $L_2$.

Notacja ket

Zamiast używać standardowych symboli, notacja Diraca używa dla wektorów pionowych kresek i trójkątnych nawiasów: $|A⟩.$ Tak zapisane wektory nazywają się ket, a czytane jako ket-A. Można zapisać rozważany poprzednio wektor jako

$|A⟩=A_1|e_1⟩+A_2|e_2⟩+A_3|e_3⟩=\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\end{array}\right),$

co można zapisać w skrócie

$|A⟩=A_1|1⟩+A_2|2⟩+A_3|3⟩,$

gdzie $|1⟩,|2⟩,|3⟩$ oznaczają odpowiednio wektory jednostkowe ${\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2,{\overrightarrow{e}}_3.$

Iloczyn skalarny i notacja ket

Szablon:Osobny artykuł Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest liczba zespolona. Notacja Diraca posiada specjalny zapis dla iloczynu skalarnego

$⟨A|B⟩=\text{iloczyn skalarny bra }⟨A|\text{ z ket }|B⟩.$

W trójwymiarowej przestrzeni zespolonej z półtoraliniowym iloczynem skalarnym (jak przestrzeń $\{|\psi ⟩\}$)

$⟨A|B⟩=A_1^{*}{B}_1+A_2^{*}{B}_2+A_3^{*}{B}_3,$

gdzie $A_i^{*}$ oznacza sprzężenie zespolone. W przypadku, gdy $\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B},$ iloczyn skalarny jest kwadratem długości tego wektora

$⟨A|A⟩=|A_1{|}^2+|A_2{|}^2+|A_3{|}^2.$

W notacji Diraca iloczyn skalarny można podzielić na dwie części, „bra” i „ket”

$⟨A|B⟩=(⟨A|)(|B⟩),$

gdzie $⟨A|$ nazywane jest bra i czytane jako bra-A, a $|B⟩$ to ket.

Powodem, dla którego dzielimy iloczyn skalarny na bra i ket, jest to, iż obydwa obiekty mają swój własny sens i mogą być użyte w innym kontekście niż w iloczynie skalarnym. Można o nich myśleć na dwa sposoby.

Bra i kety jako macierze

Dla przestrzeni wektorowej o skończonej liczbie wymiarów, używając ustalonych wektorów jednostkowych, iloczyn skalarnych można zapisać jako mnożenie macierzy postaci

$⟨A|B⟩=A_1^{*}{B}_1+A_2^{*}{B}_2+\dots +A_N^{*}{B}_N=\left(\begin{array}{cccc}{A}_1^{*}& A_2^{*}& \dots & A_N^{*}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{B}_1\\ B_2\\ ⋮\\ B_N\end{array}\right).$

Na tej podstawie można zdefiniować bra jako:

$⟨A|=\left(\begin{array}{cccc}{A}_1^{*}& A_2^{*}& \dots & A_N^{*}\end{array}\right).$

Sprzężenie hermitowskie bra to odpowiadające mu ket i vice versa:

$⟨A{|}^{†}=|A⟩,|A{⟩}^{†}=⟨A|,$

ponieważ jeśli zastosuje się sprzężenie zespolone i transpozycje macierzy, to z:

$\left(\begin{array}{cccc}{A}_1^{*}& A_2^{*}& \dots & A_N^{*}\end{array}\right),$

otrzyma się:

$\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ ⋮\\ A_N\end{array}\right).$

Bra jako operator liniowy na ket

Szablon:Osobny artykuł Równoważną definicją jest przyjęcie, że bra jest funkcjonałem linowym na ket, czyli operatorem, który z ket produkuje liczbę zespoloną.

Inaczej mówiąc, przestrzeń wektorowa bra jest przestrzenią dualną do przestrzeni wektorowej ket, a odpowiadające sobie ket i bra są w relacji według twierdzenia Riesza.

Zastosowanie w mechanice kwantowej

Aparat matematyczny mechaniki kwantowej w dużej części bazuje na algebrze liniowej:

• Funkcje falowe i stany kwantowe mogą być przedstawione jako wektory w zespolonej przestrzeni Hilberta. (Szczególna struktura tej przestrzeni zależy od wybranej sytuacji). Przykładowym stwierdzeniem wykorzystującym notację Diraca mogłoby być „Elektron znajduje się w stanie $|\psi ⟩$”. (Technicznie stany kwantowe są kierunkami wektorów w przestrzeni Hilberta; oznacza to, że stan c $|\psi ⟩$ odnosi się do tego samego stanu dla każdego zespolonego c).
• Superpozycje stanów kwantowych mogą być opisane jako suma wektorów stanów składowych. Przykładowo stan elektronu $|1⟩+i|2⟩$ jest superpozycją stanów $|1⟩$ i $|2⟩.$
• Pomiary w mechanice kwantowej są związane z operatorami liniowymi (zwanych obserwablami) w przestrzeni Hilberta stanów kwantowych.
• Normalizacja funkcji falowej ustala jej normę na 1.

Praktycznie wszystkie obliczenia w mechanice kwantowej zawierają wektory i operatory liniowe, dlatego można do nich wykorzystywać notację bra-ket. Pokazują to następujące przykłady:

Oznaczenia w notacji Diraca

• wektory bazowe oznacza się: $|n⟩,$ gdzie $n=0,1,2,\dots$
• wektory bazowe sprzężone hermitowsko: $(|n⟩{)}^{+}=⟨n|$ oraz $(⟨n|{)}^{+}=|n⟩,$
• iloczyn skalarny wektorów z bazy ortonormalnej ${\hat{S}}^{+}=(|0⟩,|1⟩{)}^{+}$ i wektorów z bazy $\hat{S}=(|0⟩,|1⟩):$

$⟨0|0⟩=⟨1|1⟩=1,$

$⟨0|1⟩=⟨1|0⟩=0,$

• iloczyn tensorowy wektorów bazowych:

$|m⟩|n⟩=|mn⟩,$

$|m⟩⟨n|,$

• iloczyn zewnętrzny wektorów bazowych:

$|m⟩\wedge |n⟩=-|n⟩\wedge |m⟩,$

$⟨m|\wedge ⟨n|=-⟨n|\wedge ⟨m|,$

• sprzężenie hermitowskie iloczynu tensorowego:

$(|mn⟩{)}^{+}=⟨mn|=⟨n|⟨m|,$

$(|m⟩⟨n|{)}^{+}=|n⟩⟨m|,$

• wektor o współrzędnych $(v_0,v_1)$ zapisany w bazie ${\hat{S}}^{+}=(|0⟩,|1⟩{)}^{+}:$

$⟨v|=v_0⟨0|+v_1⟨1|,$

• Inne wektory bazowe można oznaczyć $|n^{\prime }⟩,$ na przykład:

$|0^{\prime }⟩=|0⟩,$

$|1^{\prime }⟩=|0⟩+q|1⟩,$

$⟨0^{\prime }|=⟨0|,$

$⟨1^{\prime }|=⟨0|+q^{*}⟨1|,$

• Operatory (macierze) oznacza się $\hat{A},$ na przykład operator jednostkowy:

$\hat{1}=|0⟩⟨0|+|1⟩⟨1|,$

• Operator rzutowy $\hat{P}:$

$\hat{P}\hat{1}=|0⟩⟨0|(|0⟩⟨0|+|1⟩⟨1|)=|0⟩⟨0|.$

Linki zewnętrzne

• Notacja Diraca
• J.H. Przytycki, Płaszczyzna kwantowa i q-wielomian drzew z korzeniem, arxiv.org/1512.03080.