Rzut (algebra liniowa)

Szablon:Przekierowanie Szablon:Spis treści Rzut lub projekcja – uogólnienie pojęcia rzutu znanego z geometrii elementarnej: idempotentny endomorfizm liniowy określony na danej przestrzeni liniowej, czyli operator liniowy zachowujący swój obraz, tzn. dla którego każdy element obrazu jest punktem stałym tego przekształcenia.

Rzuty/projekcje ortogonalne są uogólnieniem pojęcia rzutu prostokątnego z geometrii euklidesowej (zob. osobna sekcja); w przestrzeniach unitarnych (tzn. z iloczynem skalarnym, np. przestrzeniach euklidesowych) są to nie mniej, nie więcej operatory samosprzężone.

Rzut ukośny

Rzut $\mathrm{T}$ wzdłuż prostej $k$ na prostą $m.$

Niech dana będzie przestrzeń liniowa $V$ (nad ustalonym ciałem). Przekształcenie liniowe $\mathrm{P}:V\to V$ tej przestrzeni w siebie spełniające warunek idempotentności

${\mathrm{P}}^2=\mathrm{P},$

czyli $\mathrm{P}(\mathrm{P}(𝐯))=\mathrm{P}(𝐯)$ dla każdego $𝐯\in V$ nazywa się rzutem (ukośnym) lub projekcją.

Odwzorowanie $\mathrm{P}$ można scharakteryzować w następujący sposób: dowolny wektor $𝐯\in V$ można przedstawić w jednoznaczny sposób w postaci sumy $𝐯=𝐰+𝐮,$ gdzie $𝐰\in \ker \mathrm{P}$ oraz $𝐮\in \mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{P}$. Oznacza to, że $V=\ker \mathrm{P}\oplus \mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{P},$ czyli $V$ jest sumą prostą jądra i obrazu $\mathrm{P}.$ Jeżeli $V$ jest skończeniewymiarowa, zaś $U$ jest jej podprzestrzenią liniową, to na mocy twierdzenia o rzędzie istnieje rzut $\mathrm{P},$ dla którego $\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{P}=U$ (jeśli $0<\dim U<\dim V,$ to rzutów określonych na $V$ o obrazie $U$ jest nieskończenie wiele).

Dla danych podprzestrzeni $W,U$ przestrzeni $V$ spełniających $V=W\oplus U$ przekształcenie $\mathrm{P}:V\to V$ nazywa się rzutem na $U$ wzdłuż $W,$ jeśli dla każdego $𝐯\in V$ zachodzi

$\mathrm{P}(𝐯)\in U$ oraz $𝐯-\mathrm{P}(𝐯)\in W.$

Jedynymi wartościami własnymi rzutu są zero i jedynka, tzn. widmo rzutu $\mathrm{P}$ jest równe $\sigma (\mathrm{P})=\{0,1\}$; ponadto rzut jest diagonalizowalny i w szczególności (w ciele charakterystyki zerowej) jego ślad jest równy wymiarowi obrazu. Z drugiej strony, jeśli przekształcenie $\mathrm{A}$ ma widmo $\sigma (\mathrm{A})=\{0,1\}$ i jest diagonalizowalne, to $\mathrm{A}$ jest rzutem.

Jeśli $\mathrm{P}$ jest rzutem na $U$ wzdłuż $W,$ to przekształcenie $\mathrm{Q}=\mathrm{I}-\mathrm{P}:V\to V$ dane wzorem $\mathrm{Q}(𝐯)=𝐯-\mathrm{P}(𝐯)$ jest rzutem na $W$ wzdłuż $U$. Tym samym rozkładowi $V=U\oplus W$ odpowiada para rzutów $\mathrm{P},\mathrm{Q}.$

Rzut ortogonalny

Rzut ortogonalny $\mathrm{P}$ na prostą $m.$

Jeżeli $\mathrm{P}$ jest rzutem (ukośnym) na $U$ wzdłuż $W$ oraz $V=W\perp U$ jest ortogonalną sumą prostą, to $\mathrm{P}$ nazywa się rzutem ortogonalnym (na $U$ wzdłuż $W$). Wówczas $W=U^{\perp }$ jest dopełnieniem ortogonalnym $U,$ czyli zachodzi $V=U^{\perp }\oplus U,$ a więc $V=(\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{P}{)}^{\perp }\oplus \mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{P},$ gdyż wtedy $\ker P=(\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{P}{)}^{\perp },$ gdzie $\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{P}$ oraz $\ker \mathrm{P}$ oznaczają odpowiednio obraz i jądro rzutu $\mathrm{P}.$

Konstrukcja ortogonalnej sumy prostej wymaga istnienia (niezdegenerowanej) symetrycznej formy dwuliniowej określonej na przestrzeni (tzw. przestrzeń ortogonalna): zwykle rozważa się przestrzenie z iloczynem skalarnym (tzw. przestrzenie unitarne); w przypadku przestrzeni nieskończonego wymiaru zakłada się dodatkowo zupełność, co sprawia, że przestrzeń unitarna $V$ staje się przestrzenią Hilberta – istnienie zapewnia wtedy twierdzenie o rzucie ortogonalnym. W tym kontekście rzut ukośny nazywa się operatorem idempotentnym, a rzut ortogonalny znany jest jako operator rzutowy.

Rzut jest ortogonalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest i) samosprzężony lub ii) normalny lub iii) dodatni (dodatnio określony) lub iv) izometryczny. Rzuty ortogonalne są operatorami ograniczonymi (czyli ciągłymi), a gdy są nietrywialne: o jednostkowej normie operatorowej; z drugiej strony ograniczony (równoważnie: ciągły) operator liniowy $\mathrm{A}$ na przestrzeni Hilberta jest rzutem ortogonalnym wtedy i tylko wtedy, gdy ${\mathrm{A}}^{*}\mathrm{A}=\mathrm{A}.$

Gdy rozważana przestrzeń jest zespolona, gwiazdkę przy oznaczeniu macierzy należy interpretować jako sprzężenie hermitowskie, w pozostałych przypadkach – jako transpozycję; w przypadku przekształceń gwiazdka oznacza (antyliniowe) przekształcenie sprzężone do danego.

Jeśli ${𝐮}_1,\dots ,{𝐮}_k$ jest bazą ortonormalną podprzestrzeni $U$ zaś $𝐀$ oznacza macierz typu $n\times k,$ której kolumnami są ${𝐮}_1,\dots ,{𝐮}_k,$ to macierz rzutu ortogonalnego dana jest wzorem

${𝐏}_{𝐀}={𝐀𝐀}^{*}$

i reprezentuje ona przekształcenie, które można zapisać jako

${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\cdot )=\sum _{i=1}^k{𝐮}_i⟨{𝐮}_i,\cdot ⟩.$

W szczególności rzut na prostą (przestrzeń jednowymiarową) rozpinaną przez wektor jednostkowy $𝐮$ dany jest wzorem ${\mathrm{P}}_{𝐮}(\cdot )=𝐮⟨𝐮,\cdot ⟩,$ a jego macierz ma postać ${𝐏}_{𝐮}={𝐮𝐮}^{*}$.

Macierz ${𝐀}^{*}$ reprezentuje izometrię częściową ${\mathrm{A}}^{*},$ która znika na dopełnieniu ortogonalnym podprzestrzeni $U,$ zaś $\mathrm{A}$ jest izometrią, która zanurza $U$ w przestrzeń $V.$

Warunek ortonormalności można opuścić; jeżeli ${𝐮}_1,\dots ,{𝐮}_k$ jest bazą (niekoniecznie ortonormalną), a macierz $𝐀$ zawiera te wektory jako kolumny, to rzut ma postać

${𝐏}_{𝐀}=𝐀({𝐀}^{*}𝐀{)}^{-1}{𝐀}^{*}.$

Reprezentowane przez tę macierz przekształcenie nadal zanurza $U$ w przestrzeń $V,$ jednak nie musi być już izometrią.

Przykłady

• Przekształcenie tożsamościowe jest rzutem ortogonalnym reprezentowanym przez macierz jednostkową, np. $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ (operator jednostkowy jest operatorem rzutowym).

• Przekształcenie liniowe, którego macierz ma postać $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right],$ jest rzutem ortogonalnym, podczas gdy zadane macierzą $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ jest rzutem (ukośnym), ale nie ortogonalnym (pierwsza macierz opisuje operator rzutowy, druga – tylko idempotentny).

• Przestrzeń ${\mathrm{L}}^2(ℝ)$ funkcji rzeczywistych całkowalnych z kwadratem (w sensie Lebesgue’a) jest ortogonalną sumą prostą przestrzeni $M,N$ funkcji parzystych i nieparzystych; rzuty ${\mathrm{P}}_M,{\mathrm{P}}_N$ odpowiednio na $M,N$ dane są wzorami

  ${\mathrm{P}}_{M}f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\text{ oraz }{\mathrm{P}}_{N}f(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2},$

przy czym $\mathrm{I}-{\mathrm{P}}_M={\mathrm{P}}_N.$

• Niech $A$ będzie zbiorem mierzalnym $ℝ,$ np. przedziałem, z funkcją charakterystyczną ${\chi }_A.$ Wówczas ${\mathrm{P}}_{A}f(x)={\chi }_A(x)f(x)$ jest rzutem ortogonalnym ${\mathrm{L}}^2(ℝ)$ na podprzestrzeń funkcji o nośniku zawartym w domknięciu $\bar{A}.$

• Zamiast wspomnianej wcześniej przestrzeni Hilberta ${ℝ}^n$ z operatorem ${\mathrm{P}}_{𝐮}(𝐱)={𝐮𝐮}^{*}𝐱$ można rozważać inne: w przypadku przestrzeni ciągów ${\ell }^2(\mathbb{Z}),$ gdy $𝐮={𝐞}_n,$ gdzie ${𝐞}_n={\left({\delta }_{k,n}\right)}_{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}$, oraz $𝐱=(x_k),$ to rzut przyjmuje postać ${\mathrm{P}}_{{𝐞}_n}(𝐱)=x_n{𝐞}_n.$

• Jeśli z kolei dana jest przestrzeń ${\mathrm{L}}^2(𝕋)$ jest przestrzenią funkcji o okresie $2\pi$, a $u=1/\sqrt{2\pi }$ jest funkcją stałą o jednostkowej normie, to rzut ortogonalny ${\mathrm{P}}_u$ przekształca funkcję $f$ w jej średnią $⟨f⟩,$ gdzie

  $⟨f⟩=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(x)\mathrm{d}x.$

Odpowiadający temu rzutowi rozkład ortogonalny, $f(x)=⟨f⟩+f^{\prime }(x),$ rozbija funkcję na stałą część średnią $⟨f⟩$ i zmienną część $f^{\prime }$ o zerowej średniej.

• Stosowany w matematycznym opisie mechaniki kwantowej operator liczby cząstek dla fermionów jest operatorem rzutowym.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

Szablon:Otwarty dostęp Paweł Lubowiecki, nagrania na YouTube, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT”, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-09]:

• Iloczyny wektorów cz. IV. Rzut ortogonalny wektora.
• Iloczyny wektorów cz. V. Rzut ortogonalny wektora.

Szablon:Przekształcenia liniowe