Przestrzeń Lp

Przestrzenie ${\ell }_p,$ $L_p,$ $L_p(\mu )$ – dla ustalonej liczby dodatniej $p$ – klasy przestrzeni liniowo-topologicznych, odpowiednio: takich ciągów liczbowych, że szereg $p$-tych potęg modułów ich wyrazów jest zbieżny oraz funkcji mierzalnych, całkowalnych w $p$-tej potędze na ustalonym zbiorze (utożsamia się funkcje równe prawie wszędzie). W przypadku $p⩾1$ w przestrzeniach tych można w naturalny sposób zdefiniować normę i są one wtedy przestrzeniami Banacha. Przestrzenie ${\ell }_2$ oraz $L_2$ są ponadto przestrzeniami Hilberta z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym. Przestrzenie ${\ell }_p$ są szczególnymi przypadkami przestrzeni $L_p(\mu ).$

Przestrzenie $L_p$ znajdują zastosowanie w statystyce, ekonomii matematycznej i inżynierii.

Skończenie wymiarowe przestrzenie ℓ_pⁿ

Sfera jednostkowa w przestrzeni ${\ell }_{3/2}^2$

W przestrzeni $K^n,$ gdzie $K$ jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych (ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia przez skalar) można, dla ustalonego $p>0$ rozważać funkcję

$\Vert \cdot {\Vert }_p:K^n\to [0,\mathrm{\infty })$

daną wzorem

$\Vert x{\Vert }_p={(|x_1{|}^p+|x_2{|}^p+\dots +|x_n{|}^p)}^{\frac{1}{p}},x=(x_1,x_2,\dots ,x_n).$

Dla $1⩽p<\mathrm{\infty }$ funkcja ta jest normą wraz z którą $K^n$ jest $n$-wymiarową przestrzenią Banacha, oznaczaną symbolem ${\ell }_p^n.$ W przypadku $p=2$ norma przestrzeni ${\ell }_2^n$ jest normą euklidesową.

Przestrzenie ℓ_p

Szablon:Osobny artykuł Ciągi liczbowe (o wyrazach z ciała liczb rzeczywistych bądź zespolonych) można interpretować jako wektory o nieskończonej liczbie współrzędnych i zdefiniować dla nich analogiczne działania dodawania i mnożenia przez skalar jak w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowej:

• dodawanie:

$(x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots )+(y_1,y_2,\dots ,y_n,\dots )=(x_1+y_1,x_2+y_2,\dots ,x_n+y_n,\dots ),$

• mnożenie przez skalar:

$\lambda (x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots )=(\lambda x_1,\lambda x_2,\dots ,\lambda x_n,\dots ),$

gdzie $\lambda$ jest skalarem.

Zbiór wszystkich ciągów liczbowych $V$ z określonymi wyżej działaniami jest przestrzenią liniową nad ciałem z którego pochodzą wyrazy rozważanych ciągów. Dla ustalonego $0<p<\mathrm{\infty }$ zbiór tych wszystkich ciągów liczbowych $x=(x_n)$ dla których

$\Vert x{\Vert }_p={(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}<\mathrm{\infty }$

tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni $V.$

Dopuszczając $p=\mathrm{\infty },$ definiuje się

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\sup \{|x_n|:n\in \mathbb{N}\}.$

Przestrzenie ${\ell }_p$ to podprzestrzenie liniowe $V$ dla których

${\ell }_p=\{x\in V:\Vert x{\Vert }_p<\mathrm{\infty }\}.$

Powyższy wzór określa normę w ${\ell }_p$ dla $p\in [1,\mathrm{\infty }].$ Warunek trójkąta dla normy $\Vert \cdot {\Vert }_p$ w przypadku $p<\mathrm{\infty }$ wynika z nierówności Minkowskiego:

${\left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\right[|a_n|+|b_n|{]}^p)}^{\frac{1}{p}}⩽{(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n{|}^p)}^{\frac{1}{p}}+{(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|b_n{|}^p)}^{\frac{1}{p}},$

gdzie $(a_n),(b_n)$ są elementami ${\ell }_p.$

Dowód nierówności Minkowskiego opiera się o nierówność Höldera:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n{b}_n|⩽{(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n{|}^p)}^{\frac{1}{p}}{(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|b_n{|}^q)}^{\frac{1}{q}},$

gdzie $(a_n)\in {\ell }_p,$ $(b_n)\in {\ell }_q,$ $1/p+1/q=1;$ umownie $1/\mathrm{\infty }=0.$

Norma w przestrzeniach ${\ell }_p$ jest zupełna, a więc przestrzenie ${\ell }_p$ są przestrzeniami Banacha.

Przykładowo, niezerowy ciąg stały nie należy do żadnej przestrzeni ${\ell }_p,p\in [1,\mathrm{\infty }),$ gdyż nie jest sumowalny w żadnej potędze. Jest on jednak ograniczony, więc jest on elementem przestrzeni ${\ell }_{\mathrm{\infty }}.$ Ciąg o wyrazie ogólnym $1/n$ nie należy do przestrzeni ${\ell }_1,$ jednak dla każdego $p>1$ należy on do przestrzeni ${\ell }_p.$

Własności

• Przestrzenie ${\ell }_1$ i ${\ell }_{\mathrm{\infty }}$ nie są refleksywne, natomiast w przypadku $1<p<\mathrm{\infty }$ przestrzenie ${\ell }_p$ są. Dla $p\in [1,\mathrm{\infty })$ przestrzeń sprzężona do ${\ell }_p$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią ${\ell }_q$ gdzie $1/p+1/q=1$ (konwencja: $1/\mathrm{\infty }=0$). Dualność ta wyznaczona jest przez związek

$⟨x,y⟩=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n{y}_n,x=(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in {\ell }_p,y=(y_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in {\ell }_q.$

• Przestrzeń ${\ell }_{\mathrm{\infty }}$ jest nieośrodkowa, podczas gdy dla $p\in [1,\mathrm{\infty })$ przestrzenie ${\ell }_p$ są ośrodkowe.
• Przestrzenie ${\ell }_p$ są jednostajnie wypukłe dla $1<p<\mathrm{\infty }.$
• Przestrzeń ${\ell }_p$ jest (izomorficzna z) przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy $p=2.$

Przestrzenie L_p(μ)

Niech $p>0$ będzie liczbą rzeczywistą oraz niech $(\mathrm{\Omega },F,\mu )$ będzie przestrzenią z miarą σ-skończoną. Niech $L(\mu )$ będzie zbiorem klas abstrakcji relacji równoważności w rodzinie wszystkich funkcji mierzalnych na $\mathrm{\Omega }$ względem relacji równoważności danej warunkiem $f\sim g$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $\{x\in \mathrm{\Omega }:f(x)\ne g(x)\}$ jest $\mu$-miary zero. Zbiór

$L_p(\mu )=\{f\in L(\mu ):\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f(x){|}^p\mu (\text{d}x)<\mathrm{\infty }\}$

ma naturalną strukturę przestrzeni liniowej.

Przestrzenie L_p dla p ⩾ 1

Niech $p\in [1,\mathrm{\infty }).$ Z nierówności Minkowskiego wynika, że wzór

$\Vert f{\Vert }_{L_p(\mu )}=(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f(x){|}^p\mu (\text{d}x){)}^{\frac{1}{p}}$

definiuje normę przestrzeni $L_p(\mu ).$ Norma ta jest zupełna, a więc $L_p(\mu )$ jest przestrzenią Banacha. Gdy $\mathrm{\Omega }$ jest mierzalnym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, symbolem $L_p(\mathrm{\Omega })$ oznacza się przestrzeń $L_p(\mu ),$ gdzie $\mu$ jest miarą Lebesgue’a zacieśnioną do rodziny mierzalnych podzbiorów zbioru $\mathrm{\Omega }.$

Gdy miara $\mu$ jest skończona, to zachodzą inkluzje $L_p(\mu )\subseteq L_q(\mu )$ o ile tylko $p⩾q$ (włączając przypadek $p=\mathrm{\infty },$ zdefiniowany niżej). W przypadku, gdy $\mu$ jest nieskończona, tj. $\mu (\mathrm{\Omega })=\mathrm{\infty }$ powyższe inkluzje nie zachodzą. Na przykład dla ustalonego $p⩾1$ funkcja

$f(x)=\frac{1}{x^{\frac{1}{p}}({\ln }^{2}x+1)}(x>0)$

należy do $L_p(0,\mathrm{\infty }),$ ale nie należy do $L_r(0,\mathrm{\infty }),$ gdy $r\ne p.$

Przestrzeń L_∞

Symbolem $L_{\mathrm{\infty }}(\mu )$ oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że

${\text{ess sup}}_{x\in \mathrm{\Omega }}|f(x)|:=\inf \{\sup \{|f(x)|:x\in \mathrm{\Omega }\setminus A\}:A\in 𝒜,\mu (A)=0\}<\mathrm{\infty },$

z normą

$\Vert f\Vert ={\text{ess sup}}_{x\in \mathrm{\Omega }}|f(x)|.$

Przestrzenie L_p dla 0 < p < 1

W przypadku $0<p<1$ nadal można mówić o przestrzeniach $L_p,$ nie mają już one jednak struktury przestrzeni Banacha (nie są nawet lokalnie wypukłe).

Dla liczb nieujemnych $a,b$ oraz liczby $0<p<1$ znana jest następująca nierówność:

$(a+b{)}^p⩽a^p+b^p,$

z której wynika, że

${\mathrm{\Delta }}_p(f+g)⩽{\mathrm{\Delta }}_p(f)+{\mathrm{\Delta }}_p(g),$

przy czym ${\mathrm{\Delta }}_p(f)=\int |f(x){|}^p\mu (\text{d}x).$ Na mocy powyższego, wzór

$d(f,g)={\mathrm{\Delta }}_p(f-g)$

określa metrykę niezmienniczą ze względu na przesunięcia w przestrzeni $L_p(\mu ).$ Metryka ta jest zupełna. W szczególności, $L_p(\mu )$ ma strukturę zupełnej liniowo-metrycznej, której bazę otoczeń zera tworzy rodzina kul

$B_r=\{f\in L_p(\mu ):{\mathrm{\Delta }}_p(f)<r\}(r>0).$

Brak lokalnej wypukłości

Dla każdej liczby $r>0$ zachodzi związek

$B_1=r^{-\frac{1}{p}}{B}_r,$

więc kula $B_1$ jest ograniczona, tj. przestrzeń $L_p(\mu )$ jest lokalnie ograniczoną F-przestrzenią. Przestrzeń ta nie zawiera zbiorów wypukłych i otwartych innych niż zbiór pusty i cała przestrzeń $L_p(\mu ).$ Brak lokalnej wypukłości prowadzi do następującej konsekwencji: Niech $Y$ będzie dowolną lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną i niech $ℬ$ będzie jej bazą otoczeń zera złożoną ze zbiorów wypukłych. Jeśli $T:L_p(\mu )\to Y$ jest operatorem liniowym i ciągłym oraz $W$ jest elementem bazy $ℬ,$ to $T^{-1}(W)$ jest niepustym, otwartym i wypukłym podzbiorem $L_p(\mu ),$ tj. musi być on już równy całej przestrzeni. W konsekwencji $T(L_p(\mu ))$ zawiera się w każdym elemencie bazy $ℬ,$ tj. $T$ jest operatorem zerowym.

Nierówności Höldera i Minkowskiego

Dla przestrzeni $L_p(\mu )(0<p<1)$ istnieją odpowiedniki nierówności Höldera i Minkowskiego.

Nierówność Höldera: Niech $0<p<1$ oraz niech $p^{\prime }=p/(p-1).$ Wówczas dla $f\in L_p(\mu ),$ $g\in L_{p^{\prime }}(\mu )$ spełniających warunek $0<{\mathrm{\Delta }}_{p^{\prime }}(g)<\mathrm{\infty }$ zachodzi oszacowanie

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f(t)g(t)|\mu (\text{d}t)⩽(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f(t){|}^p\mu (\text{d}t){)}^{\frac{1}{p}}(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|g(t){|}^{p^{\prime }}\mu (\text{d}t){)}^{\frac{1}{p^{\prime }}}.$

Nierówność Minkowskiego: Dla $0<p<1$ oraz $f,g\in L_p(\mu )$ zachodzi oszacowanie:

${\mathrm{\Delta }}_p(|f|+|g|{)}^{\frac{1}{p}}⩽{\mathrm{\Delta }}_p(f{)}^{\frac{1}{p}}+{\mathrm{\Delta }}_p(g{)}^{\frac{1}{p}}.$

Zobacz też

• przestrzeń Orlicza