Przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)

Szablon:Wyróżnienie Przestrzeń sprzężona (także dualna lub dwoista) – przestrzeń wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych określonych na danej przestrzeni unormowanej lub, nieco ogólniej, przestrzeni liniowo-topologicznej. Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni $X$ oznacza się często $X^{*}$ lub $X^{\prime }.$ Parę $(X,X^{*})$ nazywa się parą dualną. Współczesna terminologia pochodzi od Bourbakiego. W przeszłości były też używane nazwy: polarer Raum (niem., dosł. przestrzeń polarna/biegunowa) – Hans Hahn, transponierter Raum (niem., dosł. przestrzeń transponowana)/espace conjugué (fr., dosł. przestrzeń dołączona) – Juliusz Schauder, adjoint space (ang., dosł. przestrzeń dołączona) – Leonidas Alaoglu.

W kontekście analizy funkcjonalnej dla odróżnienia od przestrzeni sprzężonej algebraicznie, w której nie zakłada się ciągłości funkcjonałów, mówi się czasami o przestrzeni sprzężonej topologicznie. W skrajnych przypadkach przestrzeń sprzężona algebraicznie może mieć bogatą strukturę, podczas gdy sprzężona topologicznie może być trywialna. W klasie przestrzeni skończenie wymiarowych oba pojęcia pokrywają się.

Wyniki ogólnej teorii przestrzeni sprzężonych znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki, np. w równaniach różniczkowych i całkowych, czy teorii aproksymacji. Przykładowo teoria dystrybucji zrodzona z potrzeb fizyki, zbudowana jest w oparciu o funkcjonały liniowe i ciągłe na pewnej przestrzeni liniowo-topologicznej (tzw. przestrzeni funkcji próbnych).

Definicja formalna

Niech $X$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych lub zespolonych. Zbiór $X^{*}$ wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych

$\phi :X\to K$

nazywa się przestrzenią sprzężoną do $X.$

Uwagi

• Przestrzeń sprzężona jest przestrzenią liniową z działaniami określonymi punktowo, to znaczy jeśli $\phi ,\psi \in X^{*},$ zaś $a$ jest skalarem, to

  $(\phi +\psi )(x)=\phi (x)+\psi (x)$

  $(a\phi )(x)=a\phi (x)$

dla wszystkich $x\in X.$

• W przypadku, gdy nie zakłada się o $X$ nic ponad bycie przestrzenią liniowo-topologiczną, jej przestrzeń sprzężona może być trywialna, tzn. może być złożona tylko z odwzorowania tożsamościowo równego zeru. Przykładem może być przestrzeń $X=L^p([0,1])$ dla $0<p<1$. Innym przykładem mogą być przestrzenie Hardy’ego $H^p$ dla $0<p<1$.
• Postać przestrzeni sprzężonej do danej przestrzeni liniowo-topologicznej jest ściśle związana z ilością zbiorów wypukłych w samej przestrzeni. Następujące fakty (w tym pewien wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha) wiążą $X^{*}$ z wypukłymi podzbiorami $X.$
  • Funkcjonały Minkowskiego są podliniowe (podaddytywne i dodatnio jednorodne). Funkcjonały zbalansowanych zbiorów Minkowskego są półnormami.
  • Wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha: Jeżeli $X$ jest rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią liniową, a $p$ półnormą na tej przestrzeni, to dla każdego punktu $x_0\in X$ istnieje taki funkcjonał liniowy $\phi$ na przestrzeni $X,$ że $\phi (x_0)=p(x_0)$ i

  $|\phi (x)|⩽p(x)$ dla każdego elementu $x$ przestrzeni $X.$

• Zbalansowanym zbiorom wypukłym odpowiadają funkcjonały liniowe. Oznacza to w szczególności, że przestrzenie liniowo-topologiczne lokalnie wypukłe (a więc i przestrzenie unormowane) mają nietrywialne przestrzenie sprzężone.
• Zwyczajowo funkcjonały traktuje się jako punkty przestrzeni sprzężonej, co znajduje odzwierciedlenie ich zapisie: analogicznie do $x,y\in X$ pisze się często $x^{*},y^{*}\in X^{*}.$ Dodatkowo, ze względu na ich liniowość, pomija się zwykle nawiasy przy argumentach, zatem zamiast $\phi (x)$ bądź $x^{*}(x)$ pisze się po prostu $\phi x$ lub $x^{*}x.$ W dalszej części artykułu stosowane będą oznaczenia „z gwiazdką”.

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni unormowanej

W dalszej części artykułu $X$ oznaczać będzie nietrywialną przestrzeń unormowaną nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych lub zespolonych. W przestrzeni $X^{*}$ można w naturalny sposób wprowadzić normę: jest nią funkcjonał

$\Vert x^{*}\Vert =\sup \{|x^{*}x|:\Vert x\Vert ⩽1\}.$

O ile nie prowadzi to do nieporozumień, normę w przestrzeni $X^{*}$ często oznacza się tym samym symbolem, co normę w $X.$ W przeciwnym przypadku przy jej symbolu umieszcza się w indeksie dolnym oznaczenie przestrzeni, w której rozpatrywana jest norma, np. $\Vert y{\Vert }_{X^{*}}.$

• Ciała liczb rzeczywistych i zespolonych z naturalną metryką modułową są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi. Na mocy twierdzenia Banacha-Steinhausa, przestrzeń $X^{*}$ jest przestrzenią Banacha (bez względu na to, czy jest nią $X$).
• Jeżeli $X^{*}$ jest przestrzenią ośrodkową, to istnieje taki zbiór przeliczalny $A^{*},$ zawarty w kuli jednostkowej przestrzeni $X^{*},$ że

$\Vert x\Vert =\sup \{|x^{*}x|:x^{*}\in A^{*}\}$ dla $x\in X.$

• Jeżeli przestrzeń $X^{*}$ jest ośrodkowa, to $X$ też taka jest. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe, mianowicie przestrzenią sprzężoną do (ośrodkowej) przestrzeni $L^1(ℝ)$ jest przestrzeń $L^{\mathrm{\infty }}(ℝ),$ która nie jest ośrodkowa.

Topologie w przestrzeni sprzężonej

Jeśli $\sigma$ jest topologią w przestrzeni liniowo-topologicznej $Y,$ to symbolem ${\sigma }^w$ oznacza się słabą topologię w $Y,$ to znaczy najsłabszą topologię, względem której wszystkie odwzorowania z $Y^{*}$ są ciągłe.

W przestrzeni $Y^{*}$ można rozważać również topologię *-słabą, to znaczy najsłabszą topologię, względem której każde z odwzorowań

${\mathrm{\Phi }}_y:Y^{*}\to K,y\in Y$

postaci

${\mathrm{\Phi }}_y{y}^{*}=y^{*}y,y^{*}\in Y^{*}$

jest ciągłe. $Y^{*}$ z topologią *-słabą jest przestrzenią lokalnie wypukłą.

Podsumowując, jeżeli $X$ jest przestrzenią unormowaną, to w przestrzeni $X^{*}$ można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:

• mocną topologię ${\tau }^{*},$ czyli topologię wyznaczoną przez normę w $X^{*},$
• słabą topologię $({\tau }^{*}{)}^w,$
• *-słabą topologię ${\tau }^{w^{*}},$

Zachodzi między nimi następujący związek:

${\tau }^{w^{*}}\subseteq ({\tau }^{*}{)}^w\subseteq {\tau }^{*},$

przy czym

${\tau }^{w^{*}}=({\tau }^{*}{)}^w$

wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią refleksywną (czyli gdy $X^{*}$ jest przestrzenią refleksywną). Równość ta jest konsekwencją jednego z fundamentalnych twierdzeń analizy funkcjonalnej – tzw. twierdzenia Banacha-Alaoglu. Równość topologii *-słabej i mocnej zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest skończenie wymiarowa.

• Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Podzbiór przestrzeni $X^{*}$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo ograniczony.
• Jeśli $X$ jest przestrzenią Banacha, to *-słabo zwarte podzbiory $X^{*}$ są ograniczone.
• Jeśli $X$ jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każdy niepusty *-słabo otwarty podzbiór $X^{*}$ jest nieograniczony. Co więcej, każde *-słabe (otwarte) otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową.
• Topologia *-słaba jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest skończenie wymiarowa.

Ograniczona topologia *-słaba

Istnieje jeszcze jeden, w pewien sposób naturalny, rodzaj topologii wprowadzanej w przestrzeni $X^{*}$ – tzw. ograniczona topologia *-słaba zdefiniowana w roku 1950 przez Jeana Dieudonné.

Niech dla każdego $x^{*}\in X^{*}$ oraz dla każdego ciągu $(x_n)$ punktów przestrzeni $X$ zbieżnego (w normie) do zera będzie dany zbiór

$B(x^{*},(x_n))=\{y^{*}\in X^{*}:|(y^{*}-x^{*})x_n|<1,n\in \mathbb{N}\}.$

Rodzina zbiorów tej postaci tworzy bazę pewnej topologii w przestrzeni $X^{*},$ którą nazywa się ograniczoną topologią *-słabą. Przestrzeń $X^{*}$ z tą topologią jest przestrzenią lokalnie wypukłą. Jeżeli symbol ${\tau }^{b{w}^{*}}$ oznaczać będzie ograniczoną topologię *-słabą, to między wspomnianymi wcześniej topologiami zachodzi następujący związek:

${\tau }^{w^{*}}\subseteq {\tau }^{b{w}^{*}}\subseteq {\tau }^{*}.$

Ograniczona topologia *-słaba oraz topologia *-słaba pokrywają się (w sensie topologii podprzestrzeni) na ograniczonych podzbiorach $X^{*}.$ Własność ta uzasadnia nazwę tego pojęcia. Natychmiastowym wnioskiem z tej obserwacji jest fakt, iż jeśli $(x_n^{*})$ jest ograniczonym ciągiem punktów $X^{*},$ to jest on zbieżny w sensie ograniczonej topologii *-słabej do pewnego punktu $x_0^{*}$ tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo zbieżny do $x_0^{*}.$

Mimo iż $X^{*}$ z topologią normy jest przestrzenią Banacha, to jednak poniższe twierdzenie dość dobrze ilustruje związek zupełności przestrzeni $X$ z topologią *-słabą jej przestrzeni sprzężonej:

Jeśli $X$ jest przestrzenią Banacha, to topologie: *-słaba i ograniczona *-słaba pokrywają się, to znaczy

${\tau }^{w^{*}}={\tau }^{b{w}^{*}}.$

Prawdziwe, jest też twierdzenie odwrotne, które można sformułować nieco inaczej:

Jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną, która nie jest przestrzenią Banacha, to

${\tau }^{w^{*}}\ne {\tau }^{b{w}^{*}}.$

Twierdzenie Krejna-Szmuljana

Szablon:Osobny artykuł Przy okazji omawiania (ograniczonej) *-słabej topologii w przestrzeni sprzężonej wartym odnotowania jest twierdzenie Krejna-Szmuljana (nazywane czasem twierdzeniem Banacha-Krejna-Szmuljana) udowodnione w 1940 przez Marka Krejna i Witolda Lwowicza Šmuliana.

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha oraz $B^{*}$ będzie kulą jednostkową w $X^{*}.$ Jeśli $C$ jest wypukłym podzbiorem $X^{*},$ to jest on *-słabo domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $t>0$ zbiór

$C\cap t{B}^{*}$

jest *-słabo domknięty.

Druga przestrzeń sprzeżona

Szablon:Osobny artykuł Niech $X$ będzie przestrzenią unormowaną. Przestrzeń $X^{**}$ jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy $X$ jest przestrzenią zupełną czy nie (zob. twierdzenie Banacha-Steinhausa), więc jako taka ma swoją przestrzeń sprzeżoną $X^{**}$ (analogicznie definiuje się trzecią przestrzeń sprzężoną $X^{***}$ czy $n$-tą $X^{(n)}$). Jeżeli $B$ i $B^{*}$ oznaczają domknięte kule jednostkowe przestrzeni, odpowiednio, $X$ i $X^{*},$ to

$\begin{array}{ccc}\Vert f\Vert & =& \sup \{|⟨f,x⟩|:x\in B\}(f\in X^{*}),\\ \Vert x\Vert & =& \sup \{|⟨f,x⟩|:f\in B^{*}\}(x\in X),\end{array}$

przy czym druga z powyższych równości zachodzi na mocy twierdzenia o wydobywaniu normy (wniosku z twierdzenia Hahna-Banacha). Istnieje kanoniczne włożenie

${\kappa }_X:X\to X^{**}$

dane wzorem

$⟨{\kappa }_X(x),f⟩=⟨f,x⟩(x\in X,f\in X^{*}).$

Izometryczność zanurzenia kanonicznego

Dla wszystkich funkcjonałów $f$ z $X^{*}$ i wszystkich elementów $x$ z przestrzeni $X$ zachodzi nierówność

$|⟨f,x⟩|⩽\Vert f\Vert \Vert x\Vert ,$

więc odwzorowanie κ_X jest izometrią, gdyż dla każdego elementu $x$ przestrzeni $X$ spełniona jest równość:

$\begin{array}{ccc}\Vert {\kappa }_X(x)\Vert & =& \sup \{|⟨{\kappa }_X(x),f⟩|:f\in B^{*}\}\\ & =& \sup \{|⟨f,x⟩|:f\in B^{*}\}\\ & =& \Vert x\Vert .\end{array}$

Odwzorowanie κ_X nie musi być suriektywne. Przestrzenie Banacha dla których κ_X jest suriekcją nazywane są przestrzeniami refleksywnymi. Klasyczne twierdzenie Goldstine’a mówi, że obraz kuli jednostkowej poprzez odwzorowanie κ_X jest gęstym podzbiorem kuli jednostkowej w $X^{**}$ w tzw. $X^{*}$-topologii, tzn. topologii *-słabej w przestrzeni $X^{**}.$

Przestrzenie Banacha o wspólnej przestrzeni sprzężonej

Niezomorficzne przestrzenie Banacha mogą mieć izomorficzne (a nawet izometryczne) przestrzenie sprzężone. Dla przykładu, dla każdej pary różnych liczb porządkowych $\alpha ,\beta <{\omega }_1$ przestrzenie Banacha funkcji ciągłych

$C[0,{\omega }^{{\omega }^{\alpha }}],C[0,{\omega }^{{\omega }^{\beta }}]$

nie są izomorficzne (gdyż, na przykład, mają różny indeks Szlenka, który jest niezmiennikiem izomorficznym), jednak ich przestrzeń sprzężona jest izometryczna z przestrzenią ℓ₁. Istnieją dziedzicznie nierozkładalne przestrzenie Banacha $E$ o przestrzeni sprzężonej izometrycznej z ℓ₁.

Istnieją także pary $(E,F)$ przestrzeni Banacha, w których jedna jest ośrodkowa, a druga nieośrodkowa (nawet o gęstości continuum), których przestrzenie sprzężone są izometrycznie izomorficzne. Na przykład:

• $E=C[0,1],F=C[0,1]{\oplus }_{\mathrm{\infty }}{c}_0(ℝ),$
• $E=JT,F=JT{\oplus }_2{\ell }_2(ℝ),$

gdzie $JT$ oznacza przestrzeń skonstruowaną przez R.C. Jamesa.

Reprezentacje elementów

W przypadku wielu konkretnych przestrzeni, takich jak:

• wszystkie przestrzenie Hilberta,
• przestrzeń funkcji ciągłych znikających w nieskończoności,
• przestrzenie ciągów ograniczonych i ciągów zbieżnych do zera,
• przestrzenie L^p,
• przestrzenie Sobolewa

można opisać postać elementów ich przestrzeni sprzężonych i dokonać pewnych wygodnych utożsamień. Wiele z twierdzeń reprezentacyjnych tego typu nosi nazwisko Frigyesa Riesza.

Przestrzenie Hilberta

Szablon:Osobny artykuł Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta. Dla każdego $x^{*}\in H^{*}$ istnieje taki element $a\in H,$ że

$x^{*}x=⟨x,a⟩$ dla każdego $x\in H.$

Wynika stąd, że każda rzeczywista/zespolona przestrzeń Hilberta $H$ jest liniowo/antyliniowo izometrycznie izomorficzna z $H^{*}.$ Wynik ten ma zasadnicze znaczenie dla teorii przestrzeni Hilberta, a także znajduje zastosowanie, na przykład w mechanice kwantowej.

Przestrzenie funkcji ciągłych

Istnieje wiele wariantów twierdzenia Riesza związanych z reprezentacją funkcjonałów liniowych i ciągłych na przestrzeniach funkcji ciągłych. Jednym z ogólniejszych przypadków jest twierdzenie reprezentacyjne dla przestrzeni funkcji ciągłych znikających w nieskończoności. Mówi się, że funkcja

$f:\mathrm{\Omega }\to ℂ,$

gdzie $\mathrm{\Omega }$ jest przestrzenią lokalnie zwartą, znika w nieskończoności, gdy dla dowolnego $\epsilon >0$ istnieje taki zbiór zwarty $C\subseteq \mathrm{\Omega },$ że

$|f(x)|<\epsilon$ dla $x\in \mathrm{\Omega }\setminus C.$

Przestrzeń funkcji ciągłych na przestrzeni lokalnie zwartej $\mathrm{\Omega },$ znikających w nieskończoności tworzy przestrzeń Banacha, którą oznacza się symbolem $C_0(\mathrm{\Omega }).$

Gdy $\mathrm{\Omega }$ jest przestrzenią zwartą, to każda określona na niej funkcja zespolona znika w nieskończoności. Z tej przyczyny często używa się, w tym przypadku, symbolu $C(\mathrm{\Omega })$ zamiast $C_0(\mathrm{\Omega }).$

Twierdzenie Riesza

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Dla każdego $x^{*}\in C_0(\mathrm{\Omega }{)}^{*}$ istnieje dokładnie jedna przeliczalnie addytywna regularna zespolona miara borelowska $\mu :ℬ(\mathrm{\Omega })\to ℂ$ taka, że

$x^{*}x=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }x(t)\mu (dt)$

dla każdego $x\in C_0(\mathrm{\Omega }).$ Ponadto

$\Vert x^{*}\Vert =|\mu |(\mathrm{\Omega }),$

gdzie $|\mu |$ oznacza wahanie całkowite miary $\mu .$ Przez regularną miarę zespoloną rozumie się miarę zespoloną, której wahanie całkowite jest miarą regularną (w klasycznym sensie). Więcej na temat twierdzenia Riesza można znaleźć w pracy Williama Arvesona, Notes on measure and integration in locally compact spaces.

Wspomnianie wyżej twierdzenie Riesza-Markowa sformułowane jest w najogólniejszej i bardzo abstrakcyjnej postaci. W roku 1909 Riesz udowodnił to twierdzenie dla przedziałów domkniętych na prostej, tzn. gdy $\mathrm{\Omega }=[a,b]$ (wykazał on, że funkcjom ciągłym odpowiadają – w sposób niejednoznaczny – funkcje o ograniczonym wahaniu, które można wykorzystać do sformułowania tezy twierdzenia. Całka pojawiająca się w tezie była całką Stieltjesa względem właśnie takiej funkcji). Przypadek, gdy $\mathrm{\Omega }=[a,b{]}^n$ został udowodniony w roku 1913 przez Johanna Radona.

Stefan Banach udowodnił to twierdzenie dla zwartych przestrzeni metrycznych w roku 1937, a rok później Andriej Markow dla przestrzeni normalnych. Kolejno w latach 1940 i 1941 dowody tego twierdzenia w przypadku przestrzeni całkowicie regularnych i przestrzeni zwartych podali A. D. Aleksandrow i Shizuo Kakutani.

Do innych twierdzeń reprezentacyjnych tego typu należy, na przykład, twierdzenie Riesza-Skorochoda.

Przestrzenie c i c₀

Niech $c$ i $c_0$ oznaczają, odpowiednio, przestrzenie ciągów zbieżnych i ciągów zbieżnych do zera (z normą supremum). Wówczas przestrzenie $c^{*}$ i $c_0^{*}$ są izometrycznie izomorficzne z przestrzenią ${\ell }^1,$ tj. przestrzenią ciągów sumowalnych. Mówią o tym poniższe twierdzenia Riesza dla przestrzeni $c_0$ i $c.$

Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c₀

Jeśli $x^{*}\in c_0^{*},$ to istnieje dokładnie jeden ciąg $y=(s_n)\in {\ell }^1$ taki, że

$x^{*}x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{t}_n{s}_n$

dla każdego $x=(t_n)\in c_0.$ Z drugiej strony, odwzorowanie $x^{*}$ określone powyższym wzorem jest funkcjonałem liniowym i ciągłym.

Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c

Jeśli $x^{*}\in c^{*},$ to istnieje dokładnie jeden ciąg $y=(s_0,s_1,s_2,\dots )\in {\ell }^1$ taki, że

$x^{*}x=t{s}_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(t_n-t)s_n,$

dla każdego $x=(t_n)\in c,$ gdzie $t$ jest granicą ciągu $(t_n).$ Na odwrót, $x^{*}$ określone powyższym wzorem jest funkcjonałem liniowym ciągłym. Biorąc pod uwagę powyższe dwa twierdzenia wygodnie jest dokonać utożsamienia

$c_0^{*}=c^{*}={\ell }^1.$

Przestrzenie L^p

Szablon:Zobacz też Niech $𝒜$ będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego niepustego zbioru $\mathrm{\Omega }$ oraz niech $\mu$ będzie miarą σ-skończoną określoną na $𝒜.$ Ponadto niech $p$ będzie ustaloną liczbą z przedziału $[1,\mathrm{\infty }).$ Niech

$L^p=L^p(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$

oznacza przestrzeń zespolonych funkcji $𝒜$-mierzalnych, całkowalnych z p-tą potęgą. Jeżeli $\mathrm{\Omega }=\mathbb{N},𝒜=𝒫(\mathbb{N})$ oraz $\mu$ jest miarą liczącą, to

$L^p(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )={\ell }^p,$

skąd sformułowane niżej twierdzenie Riesza obejmuje także przypadek przestrzeni ${\ell }^p$ szeregów sumowalnych w p-tej potędze.

Twierdzenie Riesza

Jeśli $x^{*}\in X^{*},$ to istnieje dokładnie jedna $𝒜$-mierzalna funkcja $y$ taka, że

$x^{*}x=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }x(t)y(t)\mu (dt)$

dla każdego $x\in L^p.$ Przy czym, gdy

• $1<p<\mathrm{\infty },$ to $y\in L^q$ oraz $\Vert x^{*}\Vert =\Vert y{\Vert }_{L^q},$ gdzie $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,$
• $p=1,$ to $y\in L^{\mathrm{\infty }}$ oraz $\Vert x^{*}\Vert =\Vert y{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}.$

Wnioskiem z twierdzenia Riesza jest fakt, że przestrzeń sprzężona do $L^p$ jest izometrycznie izomorficzna z $L^q,$ gdzie $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ (przyjmując ewentualnie umowę, że $\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$ – zob. wykładniki sprzężone). W związku wygodnie stosować utożsamienie, że

$(L^p{)}^{*}=L^q.$

Wynik ten został zauważony i udowodniony po raz pierwszy przez Riesza w roku 1909 w przypadku, gdy $\mathrm{\Omega }$ jest przedziałem domkniętym na prostej z miarą Lebesgue’a oraz $1<p<\mathrm{\infty }.$ Przypadek dla $p=1$ udowodnił, w roku 1919, Hugo Steinhaus.

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni ciągów ograniczonych

Jeżeli $x\in {\ell }^{\mathrm{\infty }},$ tzn. $x$ jest ciągiem ograniczonym, to jego zbiór wartości jest zawarty w pewnej kuli domkniętej $B.$ Wówczas ciąg $x$ można utożsamiać z funkcją

$x:\mathbb{N}\to B.$

Skoro $\mathbb{N}$ jest przestrzenią dyskretną, a $B$ przestrzenią zwartą (por. twierdzenie Heinego-Borela), to $x$ jest funkcją ciągłą. Jeżeli $\beta \mathbb{N}$ jest uzwarceniem Čecha-Stone’a przestrzeni $\mathbb{N},$ to istnieje dokładnie jedno ciągłe przedłużenie $\beta x$ funkcji $x$ na $\beta \mathbb{N}$ (postać $\beta x$ nie zależy od wyboru kuli $B$). Innymi słowy, każdemu elementowi przestrzeni ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ odpowiada pewien element przestrzeni $C(\beta \mathbb{N}).$ Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne, ponieważ każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej $\beta \mathbb{N}$ jest ograniczona (zob. twierdzenie Weierstrassa o kresach), a więc jeśli $y\in C(\beta \mathbb{N}),$ to również $y{|}_{\mathbb{N}}$ jest ograniczona, czyli

$y{|}_{\mathbb{N}}\in {\ell }^{\mathrm{\infty }}.$

Co więcej, odwzorowanie to jest izometrią. Utożsamiając

${\ell }^{\mathrm{\infty }}=C(\beta \mathbb{N})$

można zastosować twierdzenie Riesza dla przestrzeni funkcji ciągłych, z którego wynika, że przestrzeń $({\ell }^{\mathrm{\infty }}{)}^{*}$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią regularnych, zespolonych miar borelowskich na $\beta \mathbb{N}.$

W przypadku przestrzeni $L^{\mathrm{\infty }}=L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ można uogólnić powyższą metodę szukania opisu $(L^{\mathrm{\infty }}{)}^{*}$ zastępując uzwarcenie Čecha-Stone’a przestrzeni $\mathrm{\Omega }$ przestrzenią Stone’a $S$ algebry miary $\mu ,$ to znaczy przestrzeni Stone’a ilorazowej algebry Boole’a

$𝒫(\mathrm{\Omega })/{𝒩}_{\mu },$

gdzie ${𝒩}_{\mu }$ jest ideałem podzbiorów $\mu$-miary zero zbioru $\mathrm{\Omega }.$ Wówczas $(L^{\mathrm{\infty }}{)}^{*}$ można utożsamiać z przestrzenią regularnych, zespolonych miar borelowskich na $S.$

Przestrzenie Sobolewa

Szablon:Osobny artykuł Szablon:Zobacz też Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa $W^{m,p}(\mathrm{\Omega })$ dla $1⩽p<\mathrm{\infty }$ jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na $\mathrm{\Omega }$ o pewnych własnościach (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie otwartym podzbiorem przestrzeni ${ℝ}^k$ oraz $1⩽p<\mathrm{\infty }.$ Dodatkowo niech $N$ oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od $m,$ tzn.

$N=\sum _{1⩽|\alpha |⩽m}1,$

oraz $L_N^p=L^p\times \dots \times L^p,$ czyli niech $L_N^p$ będzie produktem $N$ egzemplarzy przestrzeni $L^p.$ Przestrzeń ta jest przestrzenią Banacha z normą

$\Vert (u_1,\dots ,u_N)\Vert ={(\sum _{j=1}^N(\Vert u_j{\Vert }_{L^p}{)}^p)}^{\frac{1}{p}}.$

Przestrzeń $(W^{m,p}(\mathrm{\Omega }){)}^{*}$ jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią $Y$ dystrybucji $T$ na $\mathrm{\Omega }$ takich, że

$T=\sum _{1⩽|\alpha |⩽m}(-1{)}^{|\alpha |}{D}^{\alpha }{T}_{v_{\alpha }},$

dla pewnego $v=(v_{\alpha }{)}_{1⩽|\alpha |⩽m}\in L_N^q$ i $q$ jest wykładnikiem sprzężonym do $p.$ Ponadto

$\Vert T{\Vert }_Y=\inf \Vert v{\Vert }_{L_N^q},$

gdzie kres brany jest po wszystkich $v\in L_N^q,$ dla których $T$ można przedstawić w powyższej postaci.

Istnieje jeszcze jeden sposób charakteryzacji przestrzeni $(W^{m,p}(\mathrm{\Omega }){)}^{*}$ dla $1⩽p<\mathrm{\infty }.$ Mianowicie, przestrzeń $(W^{m,p}(\mathrm{\Omega }){)}^{*}$ można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni $L^q:=L_{\sim }^q$ wyposażonej w normę

$\Vert v{\Vert }_{L_{\sim }^q}=\sup \{⟨u,v⟩:u\in W^{m,p}(\mathrm{\Omega }),\Vert u{\Vert }_{W^{m,p}(\mathrm{\Omega })}⩽1\},$

tzn.

$(W^{m,p}(\mathrm{\Omega }){)}^{*}=\overline{L_{\sim }^q}$

gdzie $q$ jest wykładnikiem sprzężonym do $p.$

Refleksywność a własność Radona-Nikodýma przestrzeni sprzężonej

Twierdzenie Phillipsa mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma własność Radona-Nikodýma. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej $X^{*}$ (a więc w konsekwencji przestrzeni $X$) a posiadaniem przez nią własności Radona-Nikodýma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:

$X^{*}$ jest refleksywna jeśli:	$X^{*}$ ma własność Radona-Nikodýma jeśli:
$X^{****}$ jest ściśle wypukła
$X^{***}$ jest gładka (ang. smooth)	$X^{***}$ jest ściśle wypukła.
$X^{**}$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła	$X^{**}$ jest gładka
$X^{*}$ jest silnie gładka (ang. very smooth)	$X^{*}$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła
$X$ jest jednostajnie wypukła	$X^{*}$ jest silnie gładka

gdzie przestrzeń $X$ nazywana jest

• gładką, gdy dla każdego takiego elementu $x$ przestrzeni $X,$ że $\Vert x\Vert =1$ istnieje dokładnie jeden taki element $x^{*}$ przestrzeni $X^{*},$ że $\Vert x^{*}\Vert =1$ oraz $x^{*}x=1.$
• silnie gładką, gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie $x\mapsto x^{*}$ takie jak w powyższej definicji jest ciągłe w sensie słabej topologii w $X^{*}.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę