Półnorma

Półnorma (lub seminorma) – podaddytywny i dodatnio jednorodny funkcjonał określony na przestrzeni liniowej, tj. funkcja $p:X\to [0,\mathrm{\infty }),$ gdzie X jest przestrzenią liniową, spełniająca warunki

1. $p(x+y)⩽p(x)+p(y),$
2. $p(\alpha x)=|\alpha |p(x)$

dla wszystkich elementów $x,y$ przestrzeni $X$ oraz wszystkich skalarów $\alpha .$

Własności

Jeżeli $p$ jest półnormą w przestrzeni $X,$ to

• $|p(x)-p(y)|⩽p(x-y)$ dla wszystkich $x,y\in X,$
• $p(x)⩾0$ dla wszystkich $x,y\in X,$
• $p(0)=0.$

Ponadto zbiór

$\{x\in X:p(x)=0\}$

jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $X,$ a zbiór

$\{x\in X:p(x)<1\}$

jest zbalansowanym zbiorem Minkowskiego oraz $p$ jest jego funkcjonałem Minkowskiego.

Przykłady

• Jeżeli $A\subseteq X$ jest zbalansowanym zbiorem Minkowskiego, to funkcjonał Minkowskiego ${\mu }_A$ jest półnormą.
• Każda norma jest półnormą.

Wprowadzanie topologii przez rodzinę półnorm

Jeśli $X$ jest przestrzenią liniową, to rodzinę $𝒫$ półnorm w przestrzeni $X$ nazywamy rozdzielającą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x\in X\setminus \{0\}$ istnieje półnorma $p\in 𝒫,$ że $p(x)\ne 0.$

Przykładem rozdzielającej rodziny półnorm w przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest rodzina funkcjonałów Minkowskiego

$\{{\mu }_A:U\in ℬ\},$

gdzie $ℬ$ jest bazą lokalną przestrzeni $X,$ złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.

Twierdzenie o wprowadzaniu topologii

Niech $𝒫$ będzie rozdzielającą rodziną półnorm w przestrzeni liniowej $X$ oraz

$U(p,n)=\{x\in X:p(x)<\frac{1}{n}\}$ dla $p\in P$ i $n\in \mathbb{N},$

$ℬ=\{\bigcap _{k=1}^{m}U(p_k,n_k):p_1,\dots ,p_m\in 𝒫,n_1,\dots ,n_m\in \mathbb{N},m\in \mathbb{N}\},$

$ℬ(x)=\{x+U:U\in ℬ\}$ dla $x\in X,$

$𝒯=\{\bigcup ℛ:ℛ\subseteq \bigcup _{x\in X}ℬ(x)\}.$

Wówczas

• $(X,+,\cdot ,𝒯)$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a $ℬ$ jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.
• Każda półnorma z rodziny $𝒫$ jest funkcją ciągłą.
• Zbiór $A\subseteq X$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej $p\in 𝒫$ istnieje $M\in (0,\mathrm{\infty }),$ że dla każdego $x\in A$

$p(x)⩽M.$

• Ciąg $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ punktów przestrzeni $X$ jest zbieżny do punktu $x\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej półnormy $p\in 𝒫$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }p(x_n-x)=0.$

Uwaga o przestrzeniach liniowo-topologicznych lokalnie-wypukłych

Jeżeli $X$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, a $ℬ$ jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych, to topologia otrzymana z powyższego twierdzenia dla rodziny półnorm

$\{{\mu }_A:U\in ℬ\}$

pokrywa się z wyjściową topologią przestrzeni $X.$

Metryzowalność topologii wprowadzonej przez rodzinę półnorm

Jeżeli $𝒫$ jest przeliczalną i rozdzielającą rodziną półnorm w przestrzeni $X,$ a $(p_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest ciągiem wszystkich jej wyrazów oraz $({\epsilon }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest zbieżnym do zera ciągiem liczb dodatnich, to funkcja $\varrho :X\times X\to [0,\mathrm{\infty })$ dana wzorem

$\varrho (x,y)=\max \{{\epsilon }_n\frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}:n\in \mathbb{N}\}$

jest metryką w zbiorze $X$ wyznaczającą topologię otrzymaną z twierdzenia o wprowadzaniu topologii dla rodziny $𝒫.$ Ponadto $\varrho$ jest metryką niezmienniczą na przesunięcia, a każda kula o środku w zerze jest zbiorem zbalansowanym i wypukłym.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Semi-norm, Encyclopedia of Mathematics [dostęp 2021-03-12].