Funkcjonał Minkowskiego

Funkcjonał Minkowskiego – podaddytywny i dodatnio jednorodny funkcjonał związany z pochłaniającymi i wypukłymi podzbiorami przestrzeni liniowej.

Definicja

Podzbiór $A$ przestrzeni liniowej $X$ nazywa się pochłaniającym, gdy dla każdego elementu $x$ przestrzeni $X$ istnieje taka liczba dodatnia $α,$ że $x \in α A .$ Zbiory pochłaniające i wypukłe nazywa się zbiorami Minkowskiego. Jeżeli $A$ jest zbiorem Minkowskiego, to funkcjonał

μ_{A} : X \to [0, \infty)

określony wzorem

μ_{A} (x) = \inf {α \in (0, \infty) : x \in α A},

nazywa się funkcjonałem Minkowskiego zbioru $A .$

Własności

Niech $A \subseteq X$ będzie zbiorem Minkowskiego. Wówczas

$μ_{A} (x + y) ⩽ μ_{A} (x) + μ_{A} (y)$ dla $x, y \in X,$
$μ_{A} (α x) = α μ_{A} (x)$ dla $x \in X$ oraz $α \in [0, \infty),$
$x \in α A$ dla każdego $x \in X$ oraz $α > μ_{A} (x),$
${x \in X : μ_{A} (x) < 1} \subseteq A \subseteq {x \in X : μ_{A} (x) ⩽ 1} .$ Ponadto, zbiory ${x \in X : μ_{A} (x) < 1}, {x \in X : μ_{A} (x) ⩽ 1}$ są zbiorami Minkowskiego i $μ_{A}$ jest funkcjonałem Minkowskiego każdego z tych zbiorów.

Jeżeli, ponadto, $A$ jest zbiorem zbalansowanym, to $μ_{A}$ jest półnormą w przestrzeni $X .$

Bibliografia

Y. Eidelman, V. Milman, A. Tsolomitis, Functional Analysis: An Introduction, „American Mathematical Society”, 2004, s. 146–148.

Funkcjonał Minkowskiego

Definicja

Własności

Bibliografia

Menu nawigacyjne

Szukaj