Funkcja jednorodna

Funkcja jednorodna – funkcja o multiplikatywnym zachowaniu skalującym: jeżeli argument został pomnożony przez pewien współczynnik, to wynik zostanie pomnożony przez pewną potęgę tego współczynnika. Własności funkcji jednorodnych stopnia $n$ używa się do rozwiązywania jednorodnych równań różniczkowych zwyczajnych. Pojęcie funkcji jednorodnej uogólnia się bez zmian na moduły nad pierścieniami, w tym grupy abelowe (czyli moduły nad pierścieniem liczb całkowitych).

Definicja

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem $K.$ Funkcja $f:X\to Y$ nazwana zostanie jednorodną (stopnia 1), jeżeli dla dowolnych $a\in K$ oraz $𝐱\in X$ zachodzi

$f(a𝐱)=af(𝐱).$

Jeżeli dla $a>0$ oraz $n\in \mathbb{N}$ zachodzi wzór

$f(a𝐱)=a^{n}f(𝐱),$

to funkcję $f$ nazywa się jednorodną stopnia $n$.

Jeśli funkcja $f$ spełnia dla każdego $𝐱\in X$ oraz $a\in K,$ gdzie $K$ jest ciałem uporządkowanym, warunek

$f(a𝐱)=|a|f(𝐱),$

to nazywa się ją dodatnio jednorodną.

Przykłady

• Przykładem funkcji jednorodnej jest dowolne przekształcenie liniowe (wprost z definicji), np. $f(𝐱)=3𝐱,$ ponieważ $f(a𝐱)=3(a𝐱)=a(3𝐱)=af(𝐱).$
• Traktując wyznacznik $\det {\mathrm{\backslash nolimits}}_n$ jako funkcję macierzy kwadratowych ustalonego stopnia $n$ otrzymuje się $\det {\mathrm{\backslash nolimits}}_n(a𝐀)=a^n\det {\mathrm{\backslash nolimits}}_n(𝐀),$ gdzie $𝐀$ jest dowolną macierzą kwadratową stopnia $n$.
• Dla dowolnej normy $\Vert \cdot \Vert ,$ (a nawet półnormy) wprost z definicji zachodzi tożsamość $\Vert a𝐱\Vert =|a|\Vert 𝐱\Vert .$

Zobacz też

• równanie różniczkowe

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-09-16].
• Szablon:Otwarty dostęp Homogeneous function Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-16].