Przestrzeń refleksywna

Szablon:Inne znaczenia Przestrzeń refleksywna – przestrzeń unormowana $X,$ o tej własności, że kanoniczne włożenie w drugą przestrzeń sprzężoną

${\kappa }_X:X⟶X^{**}$

dane wzorem

$⟨{\kappa }_X(x),f⟩=⟨f,x⟩(x\in X,f\in X^{*}),$

jest suriektywne (a zatem z izometryczności, jest ono wówczas izometrycznym izomorfizmem).

Pojęcie przestrzeni refleksywnej definiuje się także w kontekście przestrzeni lokalnie wypukłych, zakładając przy tym pewne dodatkowe warunki.

Przykłady

• Każda przestrzeń Hilberta jest refleksywna, co wynika z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonału (zob. dowód).
• Dla każdego $1<p<\mathrm{\infty }$ i dowolnej miary $\mu$ przestrzeń L_p(μ) jest refleksywna.
• Przestrzeń Tsirelsona jest refleksywna.
• Istnieją przestrzenie unormowane liniowo izometryczne ze swoją drugą przestrzenią sprzężoną, które nie są refleksywne – historycznie pierwszym przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń Jamesa $J$ (przestrzeń ilorazowa $J^{**}/J$ jest jednowymiarowa).

Własności

• Przestrzenie refleksywne są zupełne (są przestrzeniami Banacha), twierdzenie to wynika z twierdzenia Banacha-SteinhausaSzablon:Odn.
• W przestrzeni refleksywnej każdy zbiór domknięty, ograniczony i wypukły jest słabo zwarty, tzn. przestrzenie refleksywne ze słabą topologią mają własność Heinego-Borela. Prawdziwe jest także twierdzenie ogólniejsze, mówiące, że przestrzeń unormowana jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej domknięta kula jednostkowa jest słabo zwartaSzablon:OdnSzablon:Odn (dowód tego faktu wykorzystuje twierdzenie Goldstine’a).
• Domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni refleksywnej jest refleksywna. Ponadto, przestrzeń jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każda jej ośrodkowa domknięta podprzestrzeń jest refleksywnaSzablon:OdnSzablon:Odn.
• Przestrzeń Banacha $X$ jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy $X^{*}$ jest refleksywna. Założenia zupełności przestrzeni nie można pominąć.
• Przestrzeń liniowo homeomorficzna z przestrzenią refleksywną jest przestrzenią refleksywną.
• Używając twierdzenia Eberleina-Szmuljana, można wykazać, że w przestrzeni refleksywnej każdy ograniczony ciąg jej punktów ma podciąg słabo zbieżny.
• Każda przestrzeń refleksywna jest słabo ciągowo zupełna, lecz nie odwrotnie – przykładem jest przestrzeń ℓ₁Szablon:Odn.

Twierdzenie Jamesa

Szablon:Osobny artykuł Twierdzenie Jamesa mówi, że przestrzeń Banacha $X$ jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ograniczony funkcjonał liniowy na $X$ osiąga swoją normę na (domkniętej) kuli jednostkowejSzablon:Odn, tj. istnieje taki element $x\in X$ o normie 1, że

$\Vert f\Vert =⟨f,x⟩.$

Założenia zupełności przestrzeni nie można pominąć.

Twierdzenie Milmana-Pettisa

Szablon:Osobny artykuł Twierdzenie Milmana-Pettisa mówi, że każda jednostajnie wypukła przestrzeń Banacha jest refleksywna (a więc w szczególności przestrzenie Hilberta, przestrzenie L^p(μ) dla $p\in (1,\mathrm{\infty })$ są refleksywne).

Twierdzenie Phillipsa

Przestrzeń $X$ nazywa się:

• gładką, gdy dla każdego takiego elementu $x$ przestrzeni $X,$ że $\Vert x\Vert =1$ istnieje dokładnie jeden taki element $x^{*}$ przestrzeni $X^{*},$ że $\Vert x^{*}\Vert =1$ oraz $⟨x^{*},x⟩=1.$
• silnie gładką, gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie $x\to x^{*}$ takie jak w powyższej definicji jest ciągłe w sensie słabej topologii w $X^{*}.$

Twierdzenie Phillipsa mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma własność Radona-Nikodýma. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej $X^{*}$ (a więc w konsekwencji przestrzeni $X$) a jej własnością Radona–Nikodýma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:

$X^{*}$ jest refleksywna jeśli:	$X^{*}$ ma własność Radona–Nikodýma jeśli:
$X^{****}$ jest ściśle wypukła
$X^{***}$ jest gładka (ang. smooth)	$X^{***}$ jest ściśle wypukła.
$X^{**}$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła	$X^{**}$ jest gładka
$X^{*}$ jest silnie gładka (ang. very smooth)	$X^{*}$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła
$X$ jest jednostajnie wypukła	$X^{*}$ jest silnie gładka

Innym kryterium refleksywności związanym z przestrzeniami sprzężonymi wyższego rzędu jest następujący wynik Ivana Singera:

Jeśli $X^{***}$ jest silnie wypukła oraz $X^{*}$ zawiera właściwą podprzestrzeń liniową $Y$ dla której odwzorowanie kanoniczne $X\to Y^{*}$ jest izometrią, to $X$ jest przestrzenią refleksywną.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Reflexive space Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].