Twierdzenie Goldstine’a

Twierdzenie Goldstine’a – twierdzenie mówiące, że obraz kuli jednostkowej $B_X$ przestrzeni unormowanej $X$ poprzez kanoniczne odwzorowanie w drugą przestrzeń sprzężoną $X^{**}$

${\kappa }_X:X\to X^{**},⟨{\kappa }_{X}x,f⟩=⟨f,x⟩(x\in X,f\in X^{*})$

jest gęsty w kuli jednostkowej $B_{X^{**}}$ przestrzeni $X^{**}$ w sensie *-słabej topologii (tzn. topologii $\sigma (X^{**},X^{*})$), tj.

$\stackrel{{\mathrm{w}}^{*}}{\overline{{\kappa }_X(B_X)}}=B_{X^{**}}.$

W szczególności, obraz samej przestrzeni $X$ poprzez odwzorowanie ${\kappa }_X$ jest gęsty w $X^{**}$ w sensie *-słabej topologii.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Hermana Heine Goldstine’a, który udowodnił nieco mniej ogólną jego wersję w 1938 roku.

Dowód

Z wypukłości kuli $B_X$ oraz liniowości ${\kappa }_X$ wynika, że obraz ${\kappa }_X(B_X)$ jest wypukłym podzbiorem $X^{**}.$ Ponieważ $X^{**}$ z *-słabą topologią jest przestrzenią liniowo-topologiczną, domknięcie ${\kappa }_X(B_X)$ jest również zbiorem wypukłym. Jako zbiór *-słabo domknięty w $B_{X^{**}},$ z twierdzenia Banacha-Alaoglu, jest on *-słabo zwarty. Gdyby zbiór ten nie był całą kulą $B_{X^{**}},$ to istniałby funkcjonał $\phi \in B_{X^{**}},$ który nie należy do domknięcia ${\kappa }_X(B_X).$ Z twierdzenia o oddzielaniu istniałby wówczas funkcjonał $f\in X^{*}$ oraz liczba $a>0$ o tej własności, że

$\mathrm{R}\mathrm{e}⟨{\kappa }_{X^{*}}f,\phi ⟩>a>\sup \{\mathrm{R}\mathrm{e}⟨{\kappa }_{X^{*}}f,x⟩:x\in \stackrel{{\mathrm{w}}^{*}}{\overline{{\kappa }_X(B_X)}}\}=\sup \{|⟨{\kappa }_{X^{*}}f,x⟩|:x\in \stackrel{{\mathrm{w}}^{*}}{\overline{{\kappa }_X(B_X)}}\}.$

Z drugiej jednak strony,

$\begin{array}{cc}& \sup \{|⟨{\kappa }_{X^{*}}f,x⟩|:x\in \stackrel{{\mathrm{w}}^{*}}{\overline{{\kappa }_X(B_X)}}\}\\ =& \sup \{|⟨x,f⟩|:x\in \stackrel{{\mathrm{w}}^{*}}{\overline{{\kappa }_X(B_X)}}\}\\ ⩾& \sup \{|⟨x,f⟩|:x\in {\kappa }_X(B_X)\}\\ =& \sup \{|⟨f,x⟩|:x\in B_X\}\\ =& \Vert f\Vert .\end{array}$

To jednak prowadzi do sprzeczności, gdyż

$|\mathrm{R}\mathrm{e}⟨{\kappa }_{X^{*}}f,\phi ⟩|⩽|⟨{\kappa }_{X^{*}}f,\phi ⟩|=|⟨\phi ,f⟩|⩽\Vert \phi \Vert \cdot \Vert f\Vert ⩽\Vert f\Vert$

(bo $\phi$ należy do $B_{X^{**}}$), ale

$\Vert f\Vert <\mathrm{R}\mathrm{e}⟨{\kappa }_{X^{*}}f,\phi ⟩$Szablon:OdnSzablon:Odn.

Uwagi

W 1948 Jacques Dixmier udowodnił, że twierdzenie w pewnym sensie przeciwne w konktekście *-słabych topologii w przestrzeni sprzężonej nie jest prawdziwe. Dokładniej, istnieje przestrzeń Banacha $X$ o tej własności, że dla pewnej podprzestrzeni $F$ jej przestrzeni sprzężonej $X^{*},$ która jest *-słabo gęsty i dla każdego $0<r⩽1$ zbiór

$B_r\cap F$

nie jest *-słabo gęsty. $B_r$ oznacza kulę w przestrzeni $X^{*}$ o środku w zerze i promieniu $r$.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę