Słaba topologia

Słaba topologia – alternatywna (w stosunku do wyjściowej) topologia na danej przestrzeni liniowo-topologicznej, będąca uogólnieniem idei zbieżności po współrzędnych (w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych słaba topologia pokrywa się z wyjściową topologią).

Słaba topologia to najmniejsza topologia na przestrzeni liniowo-topologicznej, zwykle lokalnie wypukłej, w której wszystkie funkcjonały liniowe są ciągłe (w sensie mocnej topologii) – innymi słowy dla przestrzeni liniowo-topologicznej $X$ o nietrywialnej przestrzeni sprzężonej (topologicznie) $X^{*}$ jest to topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń

$\{x^{*}:x^{*}\in X^{*}\};$

jeśli $\tau$ jest (mocną) topologią w $X,$ to słabą topologię oznacza się zwykle symbolem ${\tau }^{*}.$ Innym sposobem wprowadzenia tej topologii jest podanie bazy otoczeń zera.

Przykład: rozpatrzmy nieskończony ciąg $(e_n)$ elementów przestrzeni ${\ell }_2$, w którym kolejne elementy $e_n$ mają na $n$-tym miejscu jedynkę, a na pozostałych zera. Ciąg ten jest słabo zbieżny do $0\in {\ell }_2.$ Natomiast względem normy dany ciąg jest rozbieżny (mimo bycia ograniczonym). Dlatego zbiór $\{e_n:n=1,2,\dots \}$ jest domknięty w silnej topologii, ale nie w słabej topologii. Z kolei zbiór $\{0\}\cup \{e_n:n=1,2,\dots \}$ jest domknięty w obu topologiach, ale zwarty tylko w słabej topologii.

Z kolei mocna zbieżność zawsze pociąga słabą. Słaba topologia zwiększa rodzinę zbiorów zwartych i zmniejsza rodzinę zbiorów domkniętych (mówi się wtedy o słabej zwartości czy słabej domkniętości). Para topologii mocnej i słabej wspólnie stanowi ważne narzędzie analizy funkcjonalnej.

Własności

Niech $X$ będzie rzeczywistą bądź zespoloną przestrzenią liniową oraz niech $ℱ$ będzie niepustą rodziną funkcjonałów liniowych przestrzeni $X$ taką, że dla każdego niezerowego $x\in X$ istnieje $f\in ℱ$ taki, że $f(x)\ne 0.$ Wówczas

• $(X,+,\cdot ,\tau (ℱ))$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą,
• rodzina $ℱ$ jest zawarta w przestrzeni sprzężonej $(X,\tau (ℱ){)}^{\star },$ ponadto jeśli $ℱ$ sama jest przestrzenią liniową, to $ℱ=(X,\tau (ℱ){)}^{\star }.$
• podzbiór $A$ przestrzeni $(X,\tau (ℱ))$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $f\in ℱ$ istnieje $M\in [0,\mathrm{\infty }),$ że dla każdego $x\in A:$ $|f(x)|⩽M,$
• ciąg punktów $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ przestrzeni $X$ jest zbieżny do punktu $x$ tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=f(x)$ dla każdego $f\in ℱ.$
• Jeżeli przestrzeń liniowo-topologiczna jest nieskończenie wymiarowa, to każde jej słabe otoczenie zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową. Ponadto, przestrzeń ta nie jest lokalnie ograniczona.
• Jeżeli przestrzeń liniowo-topologiczna jest lokalnie wypukła, to domknięcie zbioru wypukłego w wyjściowej topologii pokrywa się z domknięciem tego zbioru w sensie słabej topologii.
• Twierdzenie Mazura: Niech $X$ będzie metryzowalną przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą. Jeżeli punkt $x\in X$ jest słabą granicą ciągu $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ punktów tej przestrzeni, to jest (mocną) granicą pewnego ciągu punktów otoczki wypukłej zbioru $\{x_n:n\in \mathbb{N}\}.$

Topologia *-słaba

Niech $(X,𝒯)$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Dla każdego $x\in X$ można określić funkcjonał ${\mathrm{\Phi }}_x:X^{\star }\to K$ dany wzorem

${\mathrm{\Phi }}_x(x^{*})=x^{*}x.$

Dla każdego $x\in X$ funkcjonał ${\mathrm{\Phi }}_x$ jest liniowy ponadto dla każdego $x^{\star }\in X^{*}\setminus \{0\}$ istnieje $x\in X$ taki, że

${\mathrm{\Phi }}_x(x^{*})\ne 0.$

Topologię $\tau (\{{\mathrm{\Phi }}_x:x\in X\})$ wprowadzoną w zbiorze $X^{*}$ przez rodzinę $\{{\mathrm{\Phi }}_x:x\in X\}$ nazywamy topologią *-słabą i oznaczamy symbolem ${{𝒯}^w}^{*}.$

Przestrzeń $(X^{*},{{𝒯}^w}^{*})$ jest lokalnie wypukła, a rodzina

$\{\{x^{\star }\in X^{\star }:|x^{\star }{x}_1|<\frac{1}{n_1},\dots ,|x^{\star }{x}_m|<\frac{1}{n_m}\}:x_1,\dots ,x_m\in X,n_1,\dots ,n_m\in \mathbb{N},m\in \mathbb{N}\}$

jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.

• Jeżeli $X^{*}$ jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każde *-słabe otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową.
• Jeżeli $X$ jest przestrzenią unormowaną oraz ${𝒯}^{*}$ oznacza topologię wyznaczoną normę w przestrzeni $X^{*},$ to ${{𝒯}^w}^{*}=({𝒯}^{*}{)}^w$ wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią refleksywną.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę