Porównanie topologii

Szablon:Spis treści Porównanie topologii – badanie relacji między dwiema topologiami w danym zbiorze. Jeżeli X jest zbiorem, to rodzina $𝔗$ wszystkich topologii jest częściowo uporządkowana przez relację zawierania. Dwie topologie ${\tau }_1,{\tau }_2\in 𝔗$ są więc

• nieporównywalne, gdy istnieją takie zbiory $F_1\in {\tau }_1$ i $F_2\in {\tau }_2,$ że $F_1\notin {\tau }_2$ i $F_2\notin {\tau }_1$
• porównywalne, gdy ${\tau }_1\subseteq {\tau }_2$ lub ${\tau }_2\subseteq {\tau }_1.$

W szczególności, jeżeli topologie ${\tau }_1$ i ${\tau }_2$ są porównywalne, to mówi się, że ${\tau }_2$ jest silniejsza, bogatsza bądź większa od ${\tau }_1,$ a ${\tau }_1$ jest słabsza, uboższa bądź mniejsza od ${\tau }_2,$ gdy

${\tau }_1\subseteq {\tau }_2.$

Własności

Jeżeli${\tau }_1\subseteq {\tau }_2,$ to słuszne są następujące stwierdzenia:

• Każdy zbiór otwarty w topologii ${\tau }_1$ jest również otwarty w topologii ${\tau }_2.$
• Każdy zbiór domknięty w topologii ${\tau }_1$ jest również domknięty w topologii ${\tau }_2.$
• Domknięcie zbioru otwartego w topologii ${\tau }_1$ jest zawarte w domknięciu tego zbioru w topologii ${\tau }_2.$
• Przekształcenie tożsamościowe ${\mathrm{id}}_X:(X,{\tau }_2)\to (X,{\tau }_1)$ jest ciągłe.
• Przekształcenie tożsamościowe ${\mathrm{id}}_X:(X,{\tau }_1)\to (X,{\tau }_2)$ jest otwarte.

W szczególności, jeżeli ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ są topologiami w zbiorze Y oraz funkcja $f:(X,{\tau }_1)\to (Y,{\sigma }_2)$ jest ciągła, to jest również ciągła jako funkcja

• $f:(X,{\tau }_1)\to (Y,{\sigma }_1),$ gdy ${\sigma }_1\subseteq {\sigma }_2,$
• $f:(X,{\tau }_2)\to (Y,{\sigma }_2),$ gdy ${\tau }_1\subseteq {\tau }_2.$

Rodzina $𝔗$ wszystkich topologii w zbiorze X uporządkowana przez relację zawierania ma element najmniejszy (jest nim topologia trywialna/antydyskretna) i największy (topologia dyskretna).

Przykład

Jeżeli X jest przestrzenią unormowaną, to w jej przestrzeni sprzężonej można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:

• ${\tau }^{*},$ tzw. mocną topologię, czyli topologię wyznaczoną przez normę w $X^{*},$
• $({\tau }^{*}{)}^w,$ słabą topologię w $X^{*},$
• ${\tau }^{w^{*}},$ topologię *-słabą.

Zachodzi między nimi następujący związek:

${\tau }^{w^{*}}\subseteq ({\tau }^{*}{)}^w\subseteq {\tau }^{*}.$

Ogólniej, jeżeli $(X,Y)$ jest parą dualną, to każda topologia liniowa w Y zgodna z dualnością jest mocniejsza od słabej topologii (w sensie dualności $(X,Y)$).

Krata topologii

Szablon:Osobny artykuł Rodzina $𝔗$ wszystkich topologii w zbiorze $X$ tworzy kratę zupełną z działaniami

• ${\tau }_1\wedge {\tau }_2={\tau }_1\cap {\tau }_2,$
• ${\tau }_1\vee {\tau }_2=\bigcap \{\tau \in 𝔗:{\tau }_1\cup {\tau }_2\subseteq \tau \}$

dla ${\tau }_1,{\tau }_2\in 𝔗.$

Krata ta na ogół nie jest komplementarna.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę