Elementy najmniejszy i największy

Element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy najmniejszym, jeśli jest on mniejszy (lub równy) od każdego elementu zbioru:

$\mathrm{\forall }y\in P:x⩽y$

Podobnie, element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy największym, jeśli jest on większy (lub równy) od każdego elementu zbioru:

$\mathrm{\forall }y\in P:y⩽x$

Z definicji wynika, że zarówno element największy, jak i najmniejszy są porównywalne z każdym elementem zbioru P.

Przykłady

Jednym z typowych przykładów częściowego porządku jest relacja zawierania się zbiorów w dowolnej przestrzeni topologicznej. W tym uporządkowaniu istnieje zarówno element najmniejszy, jak i największy. Elementem najmniejszym jest zbiór pusty, gdyż zbiór pusty zawiera się w każdym podzbiorze przestrzeni. Elementem największym jest cała przestrzeń, gdyż każdy podzbiór przestrzeni zawiera się w tej przestrzeni.

Własności

Nie każdy zbiór częściowo uporządkowany ma element najmniejszy i największy. Np. zbiór liczb naturalnych (bez zera) częściowo uporządkowany relacją podzielności – każda liczba jest „większa” od swych dzielników, tzn. m jest „mniejsze” od n jeśli jest dzielnikiem liczby n: $m\preccurlyeq n⟺m|n$ – ma element najmniejszy (jest nim liczba 1, która dzieli każdą liczbę naturalną), ale nie ma największego (nie istnieje liczba naturalna, która dzieliłaby się przez każdą inną).
Z drugiej strony zbiór liczb $G=\{2,3,4,6,24\}$ uporządkowany według tej samej reguły nie ma elementu najmniejszego (brak w nim liczby, przez którą dzieliłaby się liczba 2 i liczba 3), za to ma element największy (jest nim liczba 24, która dzieli się przez każdą z pozostałych liczb zbioru G).

Nawet porządek liniowy nie gwarantuje istnienia elementów najmniejszego i największego, jeśli zbiór jest nieskończony:

• zbiór liczb $\{1,2,3\}$ z naturalnym porządkiem $\le$ ma oba te elementy: najmniejszym jest 1, największym 3;
• zbiór liczb naturalnych $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$ ma element najmniejszy (jest nim 1), ale nie ma największego;
• zbiór liczb całkowitych $\mathbb{Z}=\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$ nie ma ani elementu najmniejszego ani największego;

aczkolwiek nieskończona moc zbioru nie przesądza o braku elementu najmniejszego lub największego: zbiór

• $Q_1=\mathbb{Q}\cap [0,1]$ liczb wymiernych w przedziale domkniętym $[0,1]$

ma element najmniejszy (zero) i największy (jedność), ale zbiory

• $Q_2=\mathbb{Q}\cap (0,1)$ liczb wymiernych w przedziale otwartym o krańcach wymiernych $(0,1)$ oraz
• $Q_3=\mathbb{Q}\cap [\sqrt{2},\pi ]$ w przedziale o krańcach niewymiernych

elementu najmniejszego ani największego nie mają.

Zobacz też

• elementy minimalny i maksymalny