Twierdzenie o oddzielaniu

Twierdzenia o oddzielaniu – twierdzenia w analizie funkcjonalnej mówiące o oddzielaniu podzbiorów przestrzeni liniowo-topologicznych poprzez ciągłe funkcjonały liniowe.

Twierdzenie

Szablon:Integracja Niech $X$ będzie rzeczywistą bądź zespoloną przestrzenią liniowo-topologiczną oraz niech $A,B\subseteq X$ będą wypukłe, niepuste i rozłączne.

• Jeżeli $A$ jest zbiorem otwartym, to istnieją $x^{\star }\in X^{\star }$ oraz liczba rzeczywista $\alpha$ takie, że

$\mathrm{Re}{x}^{\star }x<\alpha ⩽\mathrm{Re}{x}^{\star }y$ dla wszystkich $x\in A$ oraz $y\in B.$

• Jeżeli $X$ jest przestrzenią lokalnie wypukłą, $A$ jest zbiorem zwartym oraz $B$ jest zbiorem domkniętym, to istnieją $x^{\star }\in X^{\star }$ oraz liczby rzeczywiste $\alpha ,\beta$ takie, że

$\mathrm{Re}{x}^{\star }x<\alpha <\beta ⩽\mathrm{Re}{x}^{\star }y$ dla wszystkich $x\in A$ oraz $y\in B.$

Prostym wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że jeżeli $X$ jest lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną, to dla każdego $x\in X\setminus \{0\}$ istnieje $x^{\star }\in X^{\star }$ taki, że $x^{\star }x\ne 0.$

Inne twierdzenia o oddzielaniu

Szablon:Podziel sekcję Niech $X$ będzie przestrzenią lokalnie wypukłą, a $Y$ jej podprzestrzenią.

• Dla każdego $x\in X\setminus \mathrm{cl}Y$ istnieje $x^{\star }\in X^{\star }$ taki, że $x^{\star }x=1$ oraz $Y\subseteq (x^{\star }{)}^{-1}(\{0\}).$

• $\underset{x\in X}{\bigwedge }(\underset{x^{\star }\in X^{\star }}{\bigwedge }(x^{\star }{|}_Y=0\Rightarrow x^{\star }x=0)\Rightarrow x\in \mathrm{cl}Y)$

• $\underset{y^{\star }\in Y^{\star }}{\bigwedge }\underset{x^{\star }\in X^{\star }}{\bigvee }{x}^{\star }{|}_Y=y^{\star }$

• Jeżeli $F\subseteq X$ jest podzbiorem domkniętym, wypukłym, zbalansowanym i niepustym, to dla każdego $x_0\in X\setminus F$ istnieje $x^{\star }\in X^{\star }$ takie, że $x^{\star }x>1$ oraz $|x^{\star }x|⩽1$ dla każdego $x\in F.$