Przestrzeń l1

Przestrzeń ℓ₁ – przestrzeń Banacha ℓ_p przy p = 1; przestrzeń ciągów bezwzględnie sumowalnych, tj. przestrzeń wszystkich ciągów liczbowych (x_n) dla których

$\Vert (x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\Vert }_{{\ell }_1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n|<+\mathrm{\infty }.$

Definicja ta rozszerza się na dowolne zbiory indeksów – dla dowolnego zbioru niepustego Г definiuje się przestrzeń ℓ₁(Г) złożoną z funkcji skalarnych na Г, które są bezwzględnie sumowalne (w szczególności, zbiór elementów dziedziny każdej takiej funkcji na których jest ona niezerowa jest zbiór przeliczalny).

Własności

• Przestrzeń ℓ₁ nie jest refleksywna; jej przestrzeń sprzężona jest w naturalny sposób izomorficzna z przestrzenią ℓ_∞, tj. przestrzenią wszystkich ograniczonych ciągów liczbowych. Dualność wyznaczona jest przez związek

$⟨x,y⟩=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n\cdot y_n,x=(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in {\ell }_1(y=(y_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in {\ell }_{\mathrm{\infty }}).$

Dla dowolnego zbioru Г również w podobny sposób można utożsamić (ℓ₁(Г))* z ℓ_∞(Г):

$⟨x,y⟩=\sum _{\gamma \in \mathrm{\Gamma }}x(\gamma )\cdot y(\gamma )(x\in {\ell }_1(\mathrm{\Gamma }),y\in {\ell }_{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Gamma })).$

Jeżeli przestrzeń Banacha E ma tę własność, iż przestrzeń sprzężona E* jest izometryczna z ℓ_∞(Г), to E jest izometryczna z ℓ₁(Г).

• Przestrzeń Banacha E jest projektywna, gdy dla każdej przestrzeni Banacha F, każdej przestrzeni F₀ będącej obrazem pewnego (ograniczonego) operatora surjektywnego Q: F → F₀ (por. twierdzenie o odwzorowaniu otwartym) oraz każdego operatora T₀: E → F₀ istnieje taki operator T: E → F, że T₀ = QT. Każda projektywna przestrzeń Banacha jest izomorficzna z przestrzenią ℓ₁(Г) dla pewnego zbioru Г.
• Przestrzeń ℓ₁ ma bazę Schaudera (e_n) złożoną z ciągów spełniających warunki e_n(m) = 1, gdy m = n i e_n(m) = 0, gdy m ≠ n. Jest to bezwarunkowa baza Schaudera.
• Przestrzeń ℓ₁ jest izomorficzna z sumą prostą swoich dwóch kopii, a także z ℓ₁-sumą prostą ℓ₁(ℓ₁); por. metoda rozkładu Pełczyńskiego.
• Przestrzeń ℓ₁ jest słabo ciągowo zupełna.

Własność Schura

Przestrzeń ℓ₁ ma własność Schura, tj. ciągi zbieżne w ℓ₁ w sensie słabej topologii są również zbieżne w sensie normy. Fakt ten udowodnił I. Schur w 1921.

Dowód. Bez straty ogólności można ograniczyć się do wykazania, że jeżeli (f_n) jest ciągiem elementów przestrzeni ℓ₁ zbieżnym słabo do 0 (tj. ‹ f_n, g › → 0 dla każdego g ∈ ℓ_∞), to || f_n || → 0. Ze słabej zbieżności ciągu (f_n) wynika zbieżność punktowa do 0 (wystarczy rozważać elementy standardowej bazy przestrzeni c₀ za funkcjonały g). Dowód będzie przebiegał przez kontrapozycję. Załóżmy, że ciąg norm || f_n || nie zbiega do 0, ale zbiega do 0 słabo. Brak zbieżności w normie do 0 oznacza, że przy ustalonym ε > 0, istnieje taki podciąg (f_nk), że || f_nk || > ε dla wszelkich k. Ciąg (f_n1) należy do ℓ₁, a zatem istnieje takie M₁ naturalne, że

$\sum _{k⩾M_1}|f_{n_1}(k)|<\frac{1}{100}\epsilon .$

Ponieważ || f_n1 || > ε, zachodzi oszacowanie

$\sum _{k⩽M_1}|f_{n_1}(k)|>\epsilon -\frac{1}{100}\epsilon =\frac{99}{100}\epsilon .$

Istnieje zatem taki indeks n_k2 > n_k1 := n₁, że

$\sum _{k⩾M_1}|f_{n_{k_2}}(k)|<\frac{1}{100}\epsilon .$

Musi zatem istnieć takie M₂ > M₁, że

$\sum _{M_1⩽k⩽M_2}|f_{n_{k_2}}(k)|>\frac{99}{100}\epsilon -\frac{1}{100}\epsilon =\frac{98}{100}\epsilon .$

Kontynuując ten proces indukcyjnie, można dojść do ściśle rosnącego ciągu liczb naturalnych (M_j) oraz podciągu f_nkj o tej własności, że

$\sum _{M_{j-1}⩽k⩽M_j}|f_{n_{k_j}}(k)|>\frac{98}{100}\epsilon (j⩾2).$

Niech g = (g(k)) będzie ciągiem liczbowym danym wzorem

$g(k)=\frac{\stackrel{‾}{f_{n_{k_j}}(k)}}{|f_{n_{k_j}}(k)|},$

gdy k należy do przedziału [M_j, ..., M_j+1). Wówczas g ∈ ℓ_∞ oraz || g || = 1. Ostatecznie, dla wszelkich j ≥ 2 zachodzi oszacowanie

$\begin{array}{ccc}|⟨f_{n_{k_j}},g⟩|& ⩾& |\sum _{M_{j-1}⩽k<M_j}|f_{n_{k_j}}(k)g(k)||-|\sum _{k<M_{j-1}}|f_{n_{k_j}}(k)g(k)||-|\sum _{k⩾M_j}|f_{n_{k_j}}(k)g(k)||\\ & ⩾& |\sum _{M_{j-1}⩽k<M_j}|f_{n_{k_j}}(k)g(k)||-\Vert g\Vert |\sum _{k\ne M_{j-1},\dots ,M_j-1}|f_{n_{k_j}}(k)||\\ & >& \frac{98}{100}\epsilon -\frac{1}{100}\epsilon -\frac{1}{100}\epsilon \\ & =& \frac{96}{100}\epsilon ,\end{array}$

które prowadzi do sprzeczności z założeniem o słabej zbieżności ciągu (f_n) do 0.

W odróżnieniu od przestrzeni ℓ₁, przestrzeń L₁ nie ma własności Schura ponieważ zawiera nieskończenie wymiarową przestrzeń Hilberta (która jako przestrzeń refleksywna nie ma własności Schura).

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, CMS Books in Math. Springer, 2011, s. 252.