Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym

Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym – twierdzenie podające warunek wystarczający na to, by ciągły operator liniowy działający między F-przestrzeniami (a więc w szczególności przestrzeniami Banacha) był odwzorowaniem otwartym.

Szczególny przypadek tego twierdzenia zwany jest twierdzeniem Banacha-Schaudera, a jednym z wniosków z tego twierdzenia jest twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym.

Twierdzenie

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi oraz $\mathrm{\Lambda }:X\to Y$ będzie operatorem liniowym i ciągłym. Jeżeli $X$ jest F-przestrzenią oraz $\mathrm{\Lambda }(X)$ jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni $Y,$ to $\mathrm{\Lambda }$ jest odwzorowaniem otwartym, $\mathrm{\Lambda }(X)=Y$ oraz $Y$ jest F-przestrzenią.

Wnioski

Niech $X,Y$ będą F-przestrzeniami oraz $\mathrm{\Lambda }:X\to Y$ będzie operatorem liniowym i ciągłym.

• Twierdzenie Banacha-Schaudera

Jeśli $\mathrm{\Lambda }(X)=Y,$ to $\mathrm{\Lambda }$ jest odwzorowaniem otwartym.

• Twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym

Jeżeli $\mathrm{\Lambda }(X)=Y$ oraz $\mathrm{\Lambda }$ jest odwzorowaniem różnowartościowym, to ${\mathrm{\Lambda }}^{-1}$ jest ciągłe.

• Jeżeli $X$ i $Y$ są przestrzeniami Banacha oraz $\mathrm{\Lambda }$ jest bijekcją, to istnieją takie dodatnie stałe rzeczywiste $a,b,$ że

$a\Vert x\Vert ⩽\Vert \mathrm{\Lambda }x\Vert ⩽b\Vert x\Vert$ dla każdego $x\in X.$

• Warunek wystarczający na równoważność norm zupełnych

Jeżeli $(X,\Vert \cdot {\Vert }_1),(X,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ są przestrzeniami Banacha oraz dla każdego ciągu $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ punktów przestrzeni $X$ spełniony jest warunek

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert x_n{\Vert }_1=0\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert x_n{\Vert }_2=0,$

to normy $\Vert \cdot {\Vert }_1$ i $\Vert \cdot {\Vert }_2$ są równoważne.

• Jeżeli $(X,{𝒯}_1),(X,{𝒯}_2)$ są F-przestrzeniami oraz ${𝒯}_1\subseteq {𝒯}_2,$ to ${𝒯}_1={𝒯}_2$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę