Twierdzenie Banacha-Steinhausa

Twierdzenie Banacha-Steinhausa (zasada jednostajnej ograniczoności) – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, w swym klasycznym sformułowaniu, że granica punktowa ciągu operatorów liniowych i jednakowo ciągłych między przestrzeniami Banacha jest ciągłym operatorem liniowym. Twierdzenie Banacha-Steinhausa można sformułować ogólniej, aby uwypuklić istotność założeń wersji klasycznej.

Pierwszy dowód twierdzenia przedstawili w 1927 roku Stefan Banach i Hugo Steinhaus.

Jednakowa ciągłość

Dalej $X$ i $Y$ oznaczać będą ustalone przestrzenie liniowo-topologiczne. Rodzinę $ℒ$ przekształceń liniowych przestrzeni $X$ w przestrzeń $Y$ nazywa się jednakowo ciągłą, gdy dla każdego otoczenia zera $W\subseteq Y$ istnieje takie otoczenie zera $U\subseteq X,$ że

$\mathrm{\Lambda }(U)\subseteq W$

dla każdego $\mathrm{\Lambda }\in ℒ.$ W przypadku gdy $X$ i $Y$ są przestrzeniami unormowanymi, to rodzina $ℒ$ jest jednakowo ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy

$(\mathrm{\exists }M>0)(\mathrm{\forall }\mathrm{\Lambda }\in ℒ)(\Vert \mathrm{\Lambda }\Vert ⩽M).$

Twierdzenie Banacha-Steinhausa

Niech $ℒ$ będzie rodziną przekształceń liniowych przestrzeni $X$ w przestrzeń $Y.$ Jeżeli zbiór

$F=\{x\in X:\text{zbiór }\{\mathrm{\Lambda }x:\mathrm{\Lambda }\in ℒ\}\text{ jest ograniczony}\}$

jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni $X,$ to $ℒ$ jest rodziną jednakowo ciągłą oraz zbiór $F$ jest całą przestrzenią.

Wnioski

• Twierdzenie Baire’a mówi, że przestrzenie metryczne zupełne są (w sobie) drugiej kategorii. Używając twierdzenia Baire’a, można udowodnić, że jeżeli $X$ jest F-przestrzenią oraz dla każdego punktu $x$ przestrzeni $X$ zbiór $\{\mathrm{\Lambda }x:\mathrm{\Lambda }\in ℒ\}$ jest ograniczony, to $ℒ$ jest rodziną jednakowo ciągłą.
• Jeżeli $X$ jest F-przestrzenią oraz $\{{\mathrm{\Lambda }}_n:n\in \mathbb{N}\}$ jest ciągiem operatorów liniowych i jednakowo ciągłych określonych na przestrzeni $X$ i o wartościach w przestrzeni $Y,$ który jest punktowo zbieżny do przekształcenia $\mathrm{\Lambda },$ to przekształcenie $\mathrm{\Lambda }:X\to Y$ jest operatorem liniowym i ciągłym.
• Twierdzenia Banacha-Steinhausa używa się do dowodu faktu, że każdy słabo ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest ograniczony (tzn. ograniczony w sensie wyjściowej topologii przestrzeni).

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę