Przestrzeń Jamesa

Przestrzeń Jamesa – pierwszy przykład przestrzeni Banacha, która jest izomorficzna ze swoją drugą przestrzenią sprzężoną, ale nie jest refleksywna.

Konstrukcja

Niech $J$ będzie przestrzenią liniową wszystkich ciągów liczb rzeczywistych $x=(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ dla których

1. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=0.$
2. $\Vert x\Vert =\sup \left\{\right(\sum _{i=1}^n(x_{m_{2i-1}}-x_{m_{2i}}{)}^2{)}^{\frac{1}{2}}:0=m_0<m_1<\dots <m_{n+1}\}<\mathrm{\infty }.$

Funkcjonał $\Vert \cdot \Vert$ zdefiniowany wyżej jest normą w $J.$ Przestrzeń $J$ wraz z tą normą jest przestrzenią Banacha, nazywaną przestrzenią Jamesa.

Konstrukcję przestrzeni Jamesa można uogólnić na dowolne wykładniki $1⩽p<\mathrm{\infty },$ zastępując warunek 2. powyżej warunkiem wraz z normą

$\Vert x{\Vert }_p=\sup \left\{\right(\sum _{i=1}^n|x_{m_{2i-1}}-x_{m_{2i}}{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}:0=m_0<m_1<\dots <m_{n+1}\}<\mathrm{\infty }.$

Przestrzeń taką oznacza się symbolem $J_p$ i nazywa p-tą przestrzenią Jamesa. Zdefiniowana wcześniej przestrzeń Jamesa jest przy tych oznaczeniach przestrzenią $J_2.$ Przypadek $p=1$ zwykle wyklucza się, gdyż przestrzeń $J_1$ jest izomorficzna z przestrzenią ℓ₁.

Podstawowe własności

Poniżej $1<p<\mathrm{\infty }.$

• Przestrzeń $J_p,$ jest ośrodkowa, rodzina ciągów $(e_n)$ które na $n$-tym miejscu mają wartość 1, a poza tym wszystkie inne wyrazy są równe zeru, jest jej bazą Schaudera. Przestrzeń Jamesa nie ma bezwarunkowej bazy Schaudera.
• Przestrzeń $J_p$ jest quasi-refleksywna rzędu 1, tzn. wymiar $J_p^{**}/J_p$ jest równy 1.
• Suma prosta $J_p\oplus J_p$ nie jest izomorficzna z $J_p.$
• Przestrzeń Jamesa ma słabą własność Banacha-Saksa.

Bibliografia

• H. Fetter, B.G. de Buen, The James Forest, London Math. Soc. Lecture Note Series 236. (1997), Cambridge University Press, Cambridge.