Twierdzenie Milmana-Pettisa

Twierdzenie Milmana-Pettisa – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że jednostajnie wypukłe przestrzenie Banacha są refleksywneSzablon:Odn. Twierdzenie zostało udowodnione niezależnie przez Milmana i Pettisa. Inne dowody podali także Kakutani oraz Ringrose.

Dowód Ringrose’a

Niech $X$ będzie jednostajnie wypukłą przestrzenią Banacha włożoną w sposób kanoniczny w drugą przestrzeń sprzężoną $X^{**}.$ Niech $x^{**}$ będzie elementem $X^{**}$ o normie 1. Refleksywność przestrzeni $X$ oznacza, że $x^{**}$ należy do $X,$ co należy wykazać.

Ponieważ kula jednostkowa $B_X$ przestrzeni $X$ jest domknięta w $X^{**}$ wystarczy wykazać, że dla każdego $\epsilon >0$ istnieje taki element $x\in B_X,$ że $\Vert x^{**}-x\Vert <\epsilon .$ Dla $\epsilon >0$ niech

$\delta =\inf \{\gamma >0:\mathrm{\forall }w,z\in B_X\Vert w-z\Vert ⩾\epsilon \Rightarrow \Vert \frac{1}{2}(w+z)\Vert ⩽1-\gamma \}.$

Ponieważ $\Vert x^{**}\Vert =1,$ istnieje takie $f\in X^{*}$ o normie 1, że

$⟨x^{**},f⟩>1-\frac{\delta }{2}.$

Niech

$V=\{y^{**}\in X^{**}:⟨y^{**}-x^{**},f^{*}⟩<\frac{\delta }{2}\}.$

Wówczas $V$ jest zbiorem otwartym w sensie *-słabej topologii w $X^{**}.$ Z twierdzenia Goldstine’a wynika, że istnieje $x$ który należy do zbioru $V\cap B_X.$ Wystarczy zatem wykazać, że $\Vert x^{**}-x\Vert <\epsilon .$ Gdyby tak nie było, to zbiór

$W=X^{**}\setminus (x+\epsilon B_{X^{**}})$

byłby *-słabo otwarty oraz $x^{**}$ byłby jego elementem. Z twierdzenia Goldstine’a wynikałoby, że

$V\cap W\cap B_{X^{**}}\ne \varnothing .$

Niech zatem $y$ będzie dowolnym elementem tego zbioru. Z określenia $\Vert y-x\Vert ⩾\epsilon .$ Z jednostajnej wypukłości wynika zatem, że

$\Vert \frac{1}{2}(x+y)\Vert ⩽1-\delta .$

Jednak w szczególności $x,y\in V,$ a zatem

$⟨x-x^{**},f⟩,⟨y-x^{**},f^{*}⟩<\frac{\delta }{2}.$

Wynika stąd, że

$2⟨x^{**},f⟩<\frac{\delta }{2}+⟨x,f⟩+\frac{\delta }{2}+⟨y,f⟩=\delta +⟨x+y,f⟩.$

W konsekwnecji,

$1-\frac{\delta }{2}<\frac{\delta }{2}+⟨\frac{x+y}{2},f⟩.$

Ostatecznie

$1-\delta <⟨\frac{x+y}{2},f⟩⩽\frac{1}{2}\Vert x+y\Vert ,$

co prowadzi do sprzeczności z jednostajną wypukłością $X$Szablon:OdnSzablon:Odn.

Bibliografia

• Charles Chidume, Geometric Properties of Banach. Spaces and Nonlinear Iterations, Springer London Ltd., 2009.
• Haim Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011.
• Szablon:Cytuj książkę