Liczby porządkowe

Liczby porządkowe – specjalne rodzaje zbiorów dobrze uporządkowanych, które są kanonicznymi reprezentantami klas izomorficzności dobrych porządkówSzablon:Odn Szablon:Odn. Są też definiowane jako typy porządkowe dobrych porządków^[1].

Liczby porządkowe stanowią „rdzeń” uniwersum modeli teorii mnogości. Zostały one wprowadzone przez Georga Cantora w 1897 roku (jako typy porządkowe dobrych porządków).

Definicja formalna

Przyjmowana współcześnie definicja liczb porządkowych była podana przez Johna von Neumanna.

Liczbą porządkową nazywa się każdy zbiór tranzytywny (przechodni), który jest liniowo uporządkowany przez relację $\subseteq,$ tj. bycia podzbiorem. Dokładniej, zbiór $α$ jest liczbą porządkową, gdy:

(i) każdy element

β \in α

jest podzbiorem

α,

tzn.

\forall_{β \in α} β \subseteq α,

(ii) każde dwa różne elementy zbioru

α

są porównywalne w relacji

\subseteq,

tzn.

\forall_{β, γ \in α} β \neq γ \to (β \subseteq γ \lor γ \subseteq β)

Z aksjomatu regularności wynika, że każda liczba porządkowa jest dobrze uporządkowana przez relację bycia podzbiorem. W pewnych sytuacjach jednak rozważa się teorię mnogości bez tego aksjomatu (np. ZFC₀) i wówczas do definicji liczby porządkowej należy dodać postulat ufundowania:

(iii) każdy niepusty podzbiór zbioru

α

zawiera element

ε

-minimalny:

\forall_{A \in α} A \neq \emptyset \to \exists_{c \in A} c \cap A = \emptyset

Dla liczb porządkowych $α$ i $β$ pisze się $α < β,$ gdy $α \in β .$

Własności i przykłady

Następujące zbiory są liczbami porządkowymi:

0 = \emptyset

1 = {\emptyset}

2 = {\emptyset, {\emptyset}}

3 = {\emptyset, {\emptyset}, {\emptyset, {\emptyset}}}

ω = {\emptyset, {\emptyset}, {\emptyset, {\emptyset}}, {\emptyset, {\emptyset}, {\emptyset, {\emptyset}}}, \dots} = {0, 1, 2, 3, \dots}

ω + 1 = ω \cup {ω}

ω \cdot 2 = {0, 1, 2, 3, \dots, ω, ω + 1, ω + 2, \dots}

ω \cdot 3 = {0, 1, 2, 3, \dots, ω, ω + 1, ω + 2, \dots, ω \cdot 2, ω \cdot 2 + 1, ω \cdot 2 + 2, \dots,}

ω \cdot ω = ω^{2} = {0, 1, 2, 3, \dots, ω, ω + 1, ω + 2, \dots, ω \cdot 2, ω \cdot 2 + 1, ω \cdot 2 + 2, \dots, \dots}

ω^{ω} = {0, 1, 2, 3, \dots, ω, ω + 1, ω + 2, \dots, ω \cdot 2, ω \cdot 2 + 1, ω \cdot 2 + 2, \dots, \dots, ω^{2}, ω^{2} + 1, ω^{2} + 2, \dots, \dots}

ω_{1}

to zbiór wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych i zarazem najmniejsza nieprzeliczalna liczba porządkowa

ω_{1} + 1 = ω_{1} \cup {ω_{1}}

Jeśli $α,$ $β$ i $γ$ są liczbami porządkowymi to:

(a)

α < β

lub

β < α

lub

α = β,

(b) jeśli

α < β

i

β < γ,

to

α < γ,

(c)

α < β

wtedy i tylko wtedy, gdy

α ⊊ β,

(d) każdy element

α

jest liczbą porządkową,

(e)

α \cup {α}

jest liczbą porządkową. Liczbę tę oznacza się symbolem

α + 1 .

Jeśli $A$ jest zbiorem liczb porządkowych, to $⋃ A$ jest liczbą porządkową.
Jeśli $(X, ⊏)$ jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to istnieje jedyna taka liczba porządkowa $α,$ że (silne) porządki $(X, ⊏)$ i $(α, \in)$ są izomorficzne.
Jeśli $C$ jest niepustym zbiorem liczb porządkowych, to istnieje taki $x \in C,$ że $x < y$ lub $x = y$ dla wszystkich $y \in C .$

Jeżeli liczba porządkowa $α$ jest postaci $β + 1$ dla pewnej liczby $β,$ to nazywana jest ona liczbą następnikową. Liczba, która nie jest następnikowa, nazywana jest liczbą graniczną. Liczby $ω$ i $ω_{1}$ są graniczne, a liczby $ω + 1$ i $ω_{1} + 1$ są następnikowe.

Paradoks Buralego-Fortiego orzeka, że nie istnieje zbiór zawierający wszystkie liczby porządkowe (sam wówczas musiałby być liczbą porządkową). W szczególności, nie istnieje największa liczba porządkowa oraz dla dowolnego zbioru istnieją liczby porządkowe do niego nie należące. Wnioskiem z tej obserwacji jest także fakt, że (por. twierdzenie Hartogsa) istnieją liczby porządkowe dowolnie dużej mocy (liczbie kardynalnej).