Paradoks Buralego-Fortiego

Cesare Burali-Forti

Paradoks Buralego-Fortiego – twierdzenie odkryte w 1897 roku przez Cesarego Buralego-Fortiego, ucznia Giuseppe Peana, mówiące o tym, iż liczby porządkowe nie tworzą zbioru.

Sformułowanie: Nie istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie liczby porządkowe.

Fakt ten można uzasadnić nie wprost – zakładając, że istnieje zbiór $A,$ którego elementami są wszystkie liczby porządkowe, można dojść do sprzeczności. Istotnie, na mocy aksjomatu zastępowania istnieje podzbiór $B$ tego zbioru, złożony wyłącznie ze wszystkich liczb porządkowych. Z własności działań na liczbach porządkowych, zbiory

$\alpha =\bigcup B$ i $\alpha \cup \{\alpha \}$

są liczbami porządkowymi.

Wówczas $\alpha \in \alpha \cup \{\alpha \}$ oraz $\alpha \cup \{\alpha \}\in B,$ a więc $\alpha \in \bigcup B=\alpha ,$ co jest sprzeczne z aksjomatem regularności i jednocześnie kończy dowód.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę