Aksjomat regularności

Aksjomat regularności, aksjomat ufundowania – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu aksjomatycznym Zermela-Fraenkla. Gwarantuje on między innymi, że zbiory budowane są zgodnie z intuicją, czyli że żaden zbiór nie jest swoim własnym elementem (bezpośrednio ani na żadnym poziome zagnieżdzenia).

Aksjomat regularności zapewnia, że

niepusty zbiór ma element, który się z nim pusto przecina, a więc wyraża się w postaci zdania logicznego:

$\mathrm{\forall }x(x\ne \varnothing \Rightarrow \mathrm{\exists }y(y\in x\wedge y\cap x=\varnothing )).$

Zapis $y\cap x=\varnothing$ można zastąpić logicznie mu równoważnym $\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }z(z\in x\wedge z\in y),$ uzyskując równoważne zdanie:

$\mathrm{\forall }x(x\ne \varnothing \Rightarrow \mathrm{\exists }y(y\in x\wedge \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }z(z\in x\wedge z\in y))).$

Łańcuchy malejące

Przyjęcie aksjomatu regularności spowoduje, że nie mogą istnieć zbiory tworzące nieskończony łańcuch względem relacji $\in$, w którym zbiór następny jest elementem zbioru poprzedniego (tj. każdy kolejny zbiór jest "mniejszy" i zawiera się w zbiorze poprzednim):

$x_0\ni x_1\ni x_2\ni ...$

Aksjomat ten powoduje, że nie istnieje taki zbiór, w którym moglibyśmy wybrać jakiś element, w tym elemencie wybrać kolejny element, w tym ostatnim kolejny i tak dalej bez końca. Gwarantuje to nam, że zawsze w pewnym momencie będziemy musieli zatrzymać sie (w schodzeniu na kolejny poziom zagnieżdżenia), gdyż dojdziemy do elementu, który nie zawiera w sobie żadnych elementów.

Dowód

Dowód: Założmy że taki łańcuch zbiów $x_0\ni x_1\ni x_2\ni ...$ tzn. $x_{n+1}\in x_n$ istnieje. Wówczas możemy utowrzyć zbiór X którego elementami są owe zbiory tj. $X=\{x_0,x_1,x_2,...\}$. Na mocy aksjomatu regularności musi istnieć taki $y\in X$ że $y\cap X=\varnothing$. Zatem $y=x_i$ dla pewnego i, ale wiemy że $x_{i+1}\in x_i$ a to oznacza, że $x_{i+1}\in y\cap X$, zatem $y\cap X\ne \varnothing$. Zatem otrzymaliśmy sprzeczność z aksjomatem regularności, więc taki łańcuch zbiorów nie może istnieć.

Cykle

Rozważając łańcuchy malejące, w szczególności nie może istnieć sytuacja że zbiór zawiera bezpośrednio lub pośrednio sam siebie tj. $x_0\ni ...\ni x_i\ni x_{i+1}\ni ...\ni x_j\ni x_i\ni ...$. Czyli że jakiś zbiór $x_i$ jest swoim własnym elementem bezpośrednio lub pośrednio (na pewnym poziomie zagnieżdżenia) gdyż doprowadza to do sprzeczności z aksjomatem regularności (podobnie jak w łańcuchach malejących).

Nieskończone zagnieżdzenia

Aksjomat regularności nie zabrania jednak posiadania przez zbiór nieskończonej liczby zagnieżdżeń. Dopuszczalne jest istnienie łańcuchów rosnąych tzn.

$x_0\in x_1\in x_2\in ...$

Tutaj każdy kolejny zbiór $x_i$ jest "większy" i zawiera poprzedni. Różnica w stosunu do łańcuchów malejących polega na tym, że tutaj startujemy od pewnego zbioru $x_0$ i budujemy kolejne "większe" (zawierajace go) zbiory (w nieskończoność). Dla łańcuchów malejących startujemy od pewnego zbioru $x_0$ i wyciągamy z niego jakiś ("mniejszy") element $x_1$, następnie powtarzamy to wyciąganie dla $x_1$ itd. (w nieskończoność).

Przykład

Weźmy definicję liczb naturalnych von Neumanna tzn. każda kolejna liczba zawiera w sobie poprzednie tj. $0=\{\},1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\}$ itd. . Zwróćmy uwagę, że liczba zagnieżdzeń dla danej liczby (zbioru) n ma wartość tej liczby np. $3=\{0,1,2\}=\{0,1,\{0,1\}\}=\{0,\{0\},\{0,\{0\}\}\}=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}$ (mamy trzy poziomy zagnieżdzeń). Wówczas zbiór liczb naturalnych tj. $\mathbb{N}=\{0,1,2,...\}$ ma nieskończenie wiele zagnieżdzeń a jednocześnie spełnia aksjomat regularności (nieskończenie wiele zagnieżdżeń ponieważ dla dowolnej skończonej liczby zagnieżdzeń k znajdziemy liczbę $x=k+1,x\in \mathbb{N}$ która jest zbiorem zawierającym więcej zagnieżdzeń).

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].