Arytmetyka liczb porządkowych

Arytmetyka liczb porządkowych – dział teorii mnogości zajmujący się liczbami porządkowymi i działaniami na nich.

Arytmetyka liczb porządkowych znacznie różni się od arytmetyki liczb kardynalnych – zarówno rozważane działania mają inne własności, jak i stawiane pytania są inne. Podstawową różnicą jest jednak fakt, że większość stwierdzeń dotyczących działań na liczbach porządkowych jest dowodliwa na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla (zwykle aksjomat wyboru nie jest potrzebny, choć tutaj, zgodnie z tradycją przyjętą w matematyce, zakłada się ZFC). Ponadto bardzo rzadko spotyka się w niej wyniki niezależnościowe.

Arytmetyka liczb porządkowych kardynalnych różni się także od arytmetyki liczb rzeczywistych, choć można dostrzec między nimi pewne analogie.

Definicje

Na liczbach porządkowych rozważa się następujące działania dwuargumentowe: dodawanie, mnożenie i potęgowanie liczb porządkowych. Operacje dodawania i mnożenia można zdefiniować na dwa sposoby (dające ten sam wynik); poniżej przedstawiono oba podejścia.

Dodawanie i mnożenie: definicje konstrukcyjne

Operacje „+” i „·” na liczbach porządkowych można wprowadzić przez pewne konstrukcje zbiorów dobrze uporządkowanych.

Przypuśćmy, że $𝐀=(A,{⩽}_A)$ oraz $𝐁=(B,{⩽}_B)$ są dobrymi porządkami. Dla uproszczenia opisu załóżmy też, że zbiory $A$ i $B$ są rozłączne. Określamy:

• $𝐀+𝐁=(A\cup B,{⊑}^{+}),$ gdzie ${⊑}^{+}$ jest relacją binarną na $A\cup B$ zdefiniowaną przez

$x{⊑}^{+}y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(x,y\in A\cup B)$ oraz

$x,y\in A$ i $x{⩽}_{A}y$ lub

$x,y\in B$ i $x{⩽}_{B}y$ lub

$x\in A$ i $y\in B.$

• $𝐀\cdot 𝐁=(A\times B,{⊑}^{\circ }),$ gdzie ${⊑}^{\circ }$ jest relacją binarną na produkcie $A\times B$ zdefiniowaną przez

$(a_1,b_1){⊑}^{\circ }(a_2,b_2)$ wtedy i tylko wtedy, gdy ($a_1,a_2\in A,$ $b_1,b_1\in B$) oraz

$b_1{<}_B{b}_2$ lub

$b_1=b_2$ i $a_1{⩽}_A{a}_2.$

Można wykazać, że zarówno $𝐀+𝐁,$ jak i $𝐀\cdot 𝐁$ są dobrymi porządkami.

Liczba porządkowa $\omega \cdot \omega :$ każda kreska pionowa przedstawia liczbę porządkową poniżej $\omega \cdot \omega$ – kreski te odpowiadają liczbom postaci $\omega \cdot m+n$ gdzie $m$ i $n$ są liczbami naturalnymi.

Dla liczb porządkowych $\alpha ,\beta$ określamy

• sumę $\alpha +\beta$ jako (jedyną) liczbę porządkową izomorficzną ze zbiorem dobrze uporządkowanym $𝐀+𝐁,$ gdzie $𝐀,𝐁$ są rozłącznymi kopiami $\alpha$ i $\beta ,$ odpowiednio;
• iloczyn $\alpha \cdot \beta$ jako (jedyną) liczbę porządkową izomorficzną ze zbiorem dobrze uporządkowanym $𝐀\cdot 𝐁,$ gdzie $𝐀,𝐁$ są kopiami $\alpha$ i $\beta ,$ odpowiednio.

Definicje indukcyjne

• Dodawanie: przez indukcję po liczbach porządkowych $\beta ,$ dla każdej liczby porządkowej $\alpha ,$ definiujemy $\alpha +\beta$ w sposób następujący:

$\alpha +0=\alpha ,$

$\alpha +1=\alpha \cup \{\alpha \}$ jest następnikiem porządkowym liczby $\alpha ,$

$\alpha +(\beta +1)=(\alpha +\beta )+1,$

jeśli $\beta$ jest liczbą graniczną, to

$\alpha +\beta =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\gamma <\beta }(\alpha +\gamma ).$

• Mnożenie: przez indukcję po liczbach porządkowych $\beta ,$ dla każdej liczby porządkowej $\alpha ,$ definiujemy $\alpha \cdot \beta$ w sposób następujący:

$\alpha \cdot 0=0,$

$\alpha \cdot (\beta +1)=\alpha \cdot \beta +\alpha ,$

jeśli $\beta$ jest liczbą graniczną, to

$\alpha \cdot \beta =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\gamma <\beta }(\alpha \cdot \gamma ).$

• Potęgowanie: przez indukcję po liczbach porządkowych $\beta ,$ dla każdej liczby porządkowej $\alpha ,$ definiujemy ${\alpha }^{\beta }$ w sposób następujący:

${\alpha }^0=1,$

${\alpha }^{\beta +1}={\alpha }^{\beta }\cdot \alpha ,$

jeśli $\beta$ jest liczbą graniczną, to

${\alpha }^{\beta }=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\gamma <\beta }{\alpha }^{\gamma }.$

Podstawowe własności

Pewne własności „zwykłych” działań na liczbach rzeczywistych są prawdziwe dla działań na liczbach porządkowych, ale wiele nie. Dla dowolnych liczb porządkowych $\alpha ,\beta ,\gamma$ prawdziwe są następujące równości:

• $(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$ oraz $(\alpha \cdot \beta )\cdot \gamma =\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma ),$
• $\alpha +0=0+\alpha =\alpha ,$ $\alpha \cdot 0=0\cdot \alpha =0$ oraz $\alpha \cdot 1=1\cdot \alpha =\alpha ,$
• $\alpha \cdot (\beta +\gamma )=(\alpha \cdot \beta )+(\alpha \cdot \gamma ),$
• ${\gamma }^{\alpha +\beta }={\gamma }^{\alpha }\cdot {\gamma }^{\beta }$ oraz $({\beta }^{\alpha }{)}^{\gamma }={\beta }^{\alpha \cdot \gamma },$
• ${\alpha }^0=1$ oraz $\alpha \ne 0⟹0^{\alpha }=0,$
• ${\alpha }^1=\alpha$ oraz $1^{\alpha }=1.$

Przykłady

Przypomnijmy, że $\omega =\{0,1,2,3,\dots \}$ jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową.

• Ani dodawanie, ani mnożenie liczb porządkowych nie są przemienne, gdyż na przykład:

$888+\omega =\omega <\omega +888$ oraz $888\cdot \omega =\omega <\omega \cdot 888$

• Prawostronna rozdzielność mnożenia względem dodawania na ogół nie zachodzi:

$(\omega +888)\cdot 2=(\omega +888)+(\omega +888)=\omega +\omega +888,$ ale $\omega \cdot 2+888\cdot 2=\omega +\omega +1776\ne \omega +\omega +888,$

• $(\omega +\omega )\cdot \omega =\omega \cdot \omega ,$
• $(\omega \cdot 2{)}^2=(\omega +\omega )\cdot (\omega +\omega )=\omega \cdot \omega +\omega \cdot \omega <\omega \cdot \omega +\omega \cdot \omega +\omega \cdot \omega +\omega \cdot \omega =\omega \cdot \omega \cdot 4={\omega }^2\cdot 2^2,$
• $2^{\omega }=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n<\omega }{2}^n=\omega ,$

Więcej własności

• Niech $\alpha ,\beta$ będą liczbami porządkowymi, $\alpha >0.$ Wówczas liczba $\beta$ ma jednoznaczne przedstawienie postaci

$\beta =\alpha \cdot \gamma +\delta$ gdzie $\gamma ,\delta$ są liczbami porządkowymi i $0⩽\delta <\alpha .$

• Twierdzenie Cantora o postaci normalnej: Każda niezerowa liczba porządkowa $\alpha >0$ może być przedstawiona jednoznacznie w postaci

$\alpha ={\omega }^{{\beta }_1}\cdot m_1+{\omega }^{{\beta }_2}\cdot m_2+\dots +{\omega }^{{\beta }_n}\cdot m_n$

dla pewnych liczb naturalnych $n⩾1$ oraz $m_1,\dots ,m_n>0$ oraz liczb porządkowych ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$ spełniających warunek ${\beta }_n<{\beta }_{n-1}<\dots <{\beta }_1⩽\alpha .$

• Liczby porządkowe α dla których zachodzi równość ${\omega }^{\alpha }=\alpha$ były nazwane przez Cantora liczbami epsilonowymi; tworzą one klasę właściwą. Najmniejszą liczbą epsilonową jest

${\epsilon }_0=\sup \{{\omega }^{\omega },{\omega }^{{\omega }^{\omega }},{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}},\dots \}.$

• Jeśli $\epsilon$ jest liczbą epsilonową, to

(a) $\beta +\epsilon =\epsilon$ dla każdej liczby $\beta <\epsilon ,$

(b) $\beta \cdot \epsilon =\epsilon$ dla każdej liczby $1⩽\beta <\epsilon ,$

(c) ${\beta }^{\epsilon }=\epsilon$ dla każdej liczby $2⩽\beta <\epsilon .$

Zastosowania

• Dowód twierdzenia Goodsteina używa cantorowskiej postaci normalnej dla liczb porządkowych mniejszych niż ${\epsilon }_0.$

Operacje naturalne

W 1906 roku niemiecki matematyk Gerhard Hessenberg wprowadził dwie dodatkowe operacje na liczbach porządkowych: naturalną sumę i naturalny produkt. Czasami operacje te są nazywane sumą Hessenberga i produktem Hessenberga, odpowiednio. Są one zdefiniowane w taki sposób, że przedstawiamy dane liczby porządkowe w postaci normalnej Cantora i działania wykonujemy, traktując te rozwinięcia jak formalne wielomiany zmiennej $\omega .$

Niech $\alpha$ i $\beta$ będą liczbami porządkowymi. Na mocy twierdzenia Cantora o postaci normalnej możemy znaleźć liczby naturalne $n⩾1$ oraz $m_1,\dots ,m_n,k_1,\dots ,k_n$ oraz liczby porządkowe ${\xi }_n<{\xi }_{n-1}<\dots <{\xi }_1$ takie, że

$\alpha ={\omega }^{{\xi }_1}\cdot m_1+{\omega }^{{\xi }_2}\cdot m_2+\dots +{\omega }^{{\xi }_n}\cdot m_n$ oraz $\beta ={\omega }^{{\xi }_1}\cdot k_1+{\omega }^{{\xi }_2}\cdot k_2+\dots +{\omega }^{{\xi }_n}\cdot k_n.$

Określamy teraz sumę naturalną $\alpha (+)\beta$ przez

$\alpha \oplus \beta ={\omega }^{{\xi }_1}\cdot (k_1+m_1)+{\omega }^{{\xi }_2}\cdot (k_2+m_2)+\dots +{\omega }^{{\xi }_n}\cdot (k_n+m_n).$

Definicja produktu naturalnego $\alpha \odot \beta$ jest trochę bardziej skomplikowana: traktujemy wyrażenia ${\omega }^{{\xi }_1}\cdot m_1+{\omega }^{{\xi }_2}\cdot m_2+\dots +{\omega }^{{\xi }_n}\cdot m_n$ i ${\omega }^{{\xi }_1}\cdot k_1+{\omega }^{{\xi }_2}\cdot k_2+\dots +{\omega }^{{\xi }_n}\cdot k_n$ jakby przedstawiały wielomiany zmiennej ω. Dla każdej pary liczb naturalnych $1⩽i,j⩽n$ rozważamy liczbę ${\omega }^{{\xi }_i\oplus {\xi }_j}\cdot m_i\cdot k_j$ (zwróćmy uwagę, że w wykładniku potęgi mamy operację sumy naturalnej). Produkt naturalny $\alpha \odot \beta$ jest zdefiniowany jako suma (w sensie +) wszystkich wyrażeń postaci ${\omega }^{{\xi }_i\oplus {\xi }_j}\cdot m_i\cdot k_j$ uporządkowanych tak, że wykładniki maleją.

Obie operacje, $\oplus$ i $\odot ,$ są przemienne i łączne. Zauważmy, że

$(\omega +1)+(\omega +1)=\omega \cdot 2+1,$ ale $(\omega +1)\oplus (\omega +1)=\omega \cdot 2+2,$ oraz

$(\omega +1)\cdot (\omega +1)={\omega }^2+\omega +1,$ ale $(\omega +1)\odot (\omega +1)={\omega }^2+\omega \cdot 2+1.$

Przykład zastosowania

W roku 1954 G.H. Toulmin udowodnił, że jeżeli $X$ i $Y$ są przestrzeniami regularnymi, to

$\mathrm{ind}X\times Y⩽(\mathrm{ind}X\oplus \mathrm{ind}Y)+n,$

gdzie ind oznacza mały wymiar induktywny oraz $n$ jest liczbą naturalną zależną od wymiarów przestrzeni $X$ i $Y.$ Gary Brookfield udowodnił, że jeżeli $R$ jest pierścieniem noetherowskim, to

$\mathrm{len}R[x]=\omega \odot \mathrm{len}R,$

gdzie len jest liczbą porządkową mierzącą długość ideałową pierścienia $R,$ w pewnym sensie dokładniej niż wymiar Krulla (pojęcie to wprowadził Gulliksen).

Bibliografia

• Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wydanie 2. Monografie Matematyczne, tom 34. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1965.