Liczba epsilonowa

Liczba epsilonowa – liczba porządkowa $\epsilon$ o tej własności, że

$\epsilon ={\omega }^{\epsilon }.$

Najmniejszą liczbą epsilonową jest liczba

${\epsilon }_0={\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\cdots }}}=\sup \{\omega ,{\omega }^{\omega },{\omega }^{{\omega }^{\omega }},{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}},\dots \}.$

Liczba ${\epsilon }_0$ jest przeliczalna – ma ona zastosowanie w wielu dowodach pozaskończonych, na przykład w dowodzie twierdzenia Goodsteina. Kolejne liczby epsilonowe indeksujemy kolejnymi liczbami porządkowymi, na przykład:

${\epsilon }_0,{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_{\omega },\dots ,{\epsilon }_{{\epsilon }_0},\dots ,{\epsilon }_{{\omega }_1},\dots .$

${\epsilon }_1=\sup \{{\epsilon }_0+1,{\epsilon }_0\cdot \omega ,{{\epsilon }_0}^{\omega },{{\epsilon }_0}^{{{\epsilon }_0}^{\omega }},\dots \}=\sup \{0,1,{\epsilon }_0,{{\epsilon }_0}^{{\epsilon }_0},{{\epsilon }_0}^{{{\epsilon }_0}^{{\epsilon }_0}},\dots \}$

${\epsilon }_{\omega }=\sup \{{\epsilon }_0,{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots \}.$

Własności

• Liczba ${\epsilon }_{\alpha }$ jest przeliczalna wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $\alpha$ jest przeliczalna.
• Każda nieprzeliczalna liczba kardynalna jest liczbą epsilonową.
• Suma (mnogościowa) dowolnej niepustej rodziny liczb epsilonowych jest liczbą epsilonową.
• Każda liczba epsilonowa jest nierozkładalna, to znaczy jeśli $\epsilon$ jest liczbą epsilonową oraz $\alpha ,\beta <\epsilon ,$ to $\alpha +\beta <\epsilon .$
• Jeśli $\epsilon$ jest liczbą epsilonową, to

(a) $\beta +\epsilon =\epsilon$ dla każdej liczby $\beta <\epsilon ,$

(b) $\beta \cdot \epsilon =\epsilon$ dla każdej liczby $1⩽\beta <\epsilon ,$

(c) ${\beta }^{\epsilon }=\epsilon$ dla każdej liczby $2⩽\beta <\epsilon .$

Zastosowania

• Dowód twierdzenia Goodsteina.
• Liczby epsilonowe można zastosować do uzasadnienia następującego twierdzenia: istnieje nieskończenie wiele par liczb porządkowych $(\alpha ,\beta )$ takich, że ${\alpha }^{\beta }={\beta }^{\alpha }$ (zauważmy, że wśród liczb naturalnych taką własność mają jedynie pary (2,4) i (4,2)). Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby porządkowej $\alpha$ (zob. arytmetyka liczb porządkowych) zachodzi równość $\alpha \cdot \omega =(\alpha +1)\cdot \omega .$ Istotnie, $\alpha \cdot \omega ⩽(\alpha +1)\cdot \omega ⩽(\alpha +\alpha )\cdot \omega =(\alpha \cdot 2)\cdot \omega =\alpha \cdot (2\cdot \omega )=\alpha \cdot \omega .$ Jeśli $\epsilon$ jest dowolną liczbą epsilonową, to dla $\alpha =\omega$ oraz $\beta =\epsilon \cdot \omega$ para $(\alpha ,\beta )$ ma żądaną własność. Istotnie:

${\beta }^{\alpha }=(\epsilon \cdot \omega {)}^{\omega }=({\omega }^{\epsilon }\cdot \omega {)}^{\omega }=({\omega }^{\epsilon +1}{)}^{\omega }={\omega }^{\epsilon \cdot \omega }={\alpha }^{\beta }.$

Zobacz też

• liczba porządkowa Bachmanna-Howarda

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę