Zbiory rozłączne

Zbiory A i B są rozłączne.

Zbiory rozłączne – dwa zbiory niemające wspólnego elementu; innymi słowy ich część wspólna jest zbiorem pustymSzablon:Odn:

$A)(B:\iff A\cap B=\mathrm{\varnothing }.$

Rozłączność to przykład relacji binarnej między zbiorami. Definiuje się nią dychotomie i wieloargumentową relację rozłączności parami opisaną dalej. Ta ostatnia definiuje rozbicie zbioru – uogólnienie dychotomii.

Przykłady

Pary zbiorów rozłącznych:

• liczby parzyste i nieparzyste;
• liczby pierwsze i złożone;
• liczby wymierne i niewymierne;
• liczby algebraiczne i przestępne.

Pary zbiorów nierozłącznych, tj. przecinających się:

• owoce i warzywa – pomidor przedstawia obie grupy;
• humaniści i ścisłowcy – Mikołaj Kopernik zajmował się jednocześnie filologią i astronomią;
• nobliści różnych dziedzin – Maria Skłodowska-Curie otrzymała nagrody z fizyki i chemii;
• liczby parzyste i liczby pierwsze – liczba 2 należy do obydwu klas;
• funkcje parzyste i nieparzyste – funkcja stała równa zeru ma obie własności;
• rodziny zbiorów otwartych i domkniętych – zbiór pusty to przykład zbioru otwarto-domkniętego.

Rozłączność parami

Zbiory A, B i C są rozłączne parami.

W przypadku więcej niż dwóch zbiorów stosuje się pojęcie zbiorów rozłącznych parami. Rodzinę zbiorów $(A_i{)}_{i\in I}$ nazywa się rodziną zbiorów parami rozłącznych, jeśli każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne:

$i\ne j⟹A_i\cap A_j=\varnothing .$

Przykłady takich rodzin:

• rodzina przedziałów $\{[n,n+1):n\in N\}$ – żadne dwa przedziały z tej rodziny nie zawierają tej samej liczby;
• rodzina prostych na płaszczyźnie równoległych do ustalonej prostej – żadne dwie różne proste równoległe nie mają punktu wspólnego;
• rodzina zbiorów postaci $A_p=\{p^i:i=1,2\dots \}$ gdzie $p$ jest liczbą pierwszą – każde dwa zbiory $A_p,A_q$ dla różnych liczb pierwszych $p,q$ są rozłączne.

Jeżeli $(A_i{)}_{i\in I}$ jest rodziną zbiorów parami rozłącznych, to jej przekrój $\bigcap _{i\in I}{A}_i$ jest zbiorem pustym. Wynikanie w drugą stronę – czyli twierdzenie odwrotne – nie zachodzi; przykładem jest rodzina $\{[n,n+1]:n\in \mathbb{N}\}.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-12-21].