Zbiór otwarto-domknięty

Zbiór otwarto-domknięty – podzbiór przestrzeni topologicznej, który jest jednocześnie zbiorem otwartym i domkniętym.

Przykłady

W każdej przestrzeni topologicznej $X,$ zbiór pusty oraz cała przestrzeń $X$ są zbiorami otwarto-domkniętymi.
Niech przestrzeń $X = [0, 1] \cup [2, 3]$ będzie wyposażona w topologię podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, przestrzeń $X$ ma następujące podzbiory otwarto-domknięte: zbiór pusty, $X, [0, 1], [2, 3] .$
Rozważmy przestrzeń topologiczną zbioru $ℚ$ liczb wymiernych z topologią podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, zbiór $A = {r \in ℚ : r^{2} < 2}$ jest otwarto-domkniętym podzbiorem $ℚ .$ Ogólniej, jeśli $I$ jest przedziałem liczb rzeczywistych o różnych końcach niewymiernych, to $I \cap ℚ$ jest otwarto-domkniętym podzbiorem $ℚ$ (mimo iż zbiór ten nie jest ani otwarty ani domknięty na prostej $ℝ$ ).
Jeśli $J \subseteq ℝ$ jest przedziałem o różnych końcach wymiernych, to $J ∖ ℚ$ jest otwarto-domkniętym podzbiorem przestrzeni liczb niewymiernych $ℝ ∖ ℚ$ (ale ten zbiór nie jest ani otwarty ani domknięty w $ℝ$ ).

Przestrzeń topologiczna $X$ jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi w $X$ są zbiór pusty oraz cała przestrzeń $X .$
Zbiór jest otwarto-domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego brzeg jest zbiorem pustym.
Przestrzeń topologiczna jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej podzbiory są otwarto-domknięte.
Rodzina $C l o p (X)$ wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni $X$ tworzy ciało podzbiorów tej przestrzeni. W szczególności, struktura $(C l o p (X), \cup, \cap,', \emptyset, X)$ jest algebrą Boole’a.
Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej.