Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a

Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a – jedno z podstawowych twierdzeń w teorii algebr Boole’a, mówiące, że

Każda algebra Boole’a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole’a). Co więcej, ciałem tym jest rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa.

Twierdzenie udowodnione w 1936 roku przez amerykańskiego matematyka Marshalla Harveya Stone’a. Twierdzenie to stanowi pomost pomiędzy teorią algebr Boole’a a teorią zwartych, zerowymiarowych przestrzeni topologicznych.

Uwagi o dowodzie

Dowód twierdzenia wymaga pewnej słabej formy aksjomatu wyboru – mianowicie twierdzenia o ideale pierwszym.

Niech $(𝔹,+,\cdot ,\sim ,\mathrm{𝟎},\mathrm{𝟏})$ będzie algebrą Boole’a.

Definicje

• Powiemy, że zbiór $F\subseteq 𝔹\setminus \{\mathrm{𝟎}\}$ jest filtrem na algebrze $𝔹,$ gdy następujące warunki są spełnione:

(a) $\mathrm{𝟏}\in F,$

(b) jeśli $a\in F$ oraz $a⩽b\in 𝔹$ (czyli $a\cdot (\sim b)=\mathrm{𝟎}$), to też $b\in F,$

(c) jeśli $a,b\in F,$ to również $a\cdot b\in F.$

• Filtr $F$ na algebrze $𝔹$ jest filtrem maksymalnym, jeśli jedynym filtrem zawierającym $F$ jest filtr $F.$ (filtr maksymalny to taki filtr który nie może być rozszerzony do większego filtru). Filtry maksymalne na algebrze $𝔹$ są też nazywane ultrafiltrami. Zbiór wszystkich ultrafiltrów na algebrze $𝔹$ jest oznaczany przez $\mathrm{U}\mathrm{l}\mathrm{t}(𝔹).$
• Dla $a\in 𝔹$ definiuje się $e(a)=\{p\in \mathrm{U}\mathrm{l}\mathrm{t}(𝔹):a\in p\}\subseteq \mathrm{U}\mathrm{l}\mathrm{t}(𝔹).$

Obserwacje

• Niech $F\subseteq 𝔹\setminus \{\mathrm{𝟎}\}$ będzie filtrem. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) $F$ jest ultrafiltrem,

(ii) dla każdego elementu $a\in 𝔹,$ albo $a\in F$ lub $\sim a\in F,$

(iii) dla każdych $a,b\in 𝔹,$ jeśli $a+b\in F,$ to $a\in F$ lub $b\in F.$

• Każdy filtr $F\subseteq 𝔹\setminus \{\mathrm{𝟎}\}$ jest zawarty w pewnym ultrafiltrze (to stwierdzenie wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru).
• Dla dowolnych $a,b\in 𝔹$ mamy, że

$e(a+b)=e(a)\cup e(b),$ $e(a\cdot b)=e(a)\cap e(b)$ oraz $e(\sim a)=\mathrm{U}\mathrm{l}\mathrm{t}(𝔹)\setminus e(a).$

• Rodzina $\{e(a):a\in 𝔹\}$ jest bazą pewnej topologii ${\tau }_{\mathrm{S}\mathrm{t}}$ na $\mathrm{U}\mathrm{l}\mathrm{t}(𝔹).$ Przestrzeń topologiczna $(\mathrm{U}\mathrm{l}\mathrm{t}(𝔹),{\tau }_{\mathrm{S}\mathrm{t}})$ jest zerowymiarową zwartą przestrzenią T₂ (tę przestrzeń nazywamy przestrzenią Stone’a algebry $𝔹$).
• Odwzorowanie $e$ jest izomorfizmem pomiędzy algebrą $𝔹$ a ciałem $\text{CO(Ult)}(𝔹)$ otwarto-domkniętych podzbiorów jej przestrzeni Stone’a.

Dualność

Twierdzenie Stone’a może być sformułowane w nieco ogólniejszej formie, która to oddaje dualizm między algebrami Boole’a a zwartymi, zerowymiarowymi przestrzeniami Hausdorffa.

Twierdzenie Stone’a o dualności

Dla każdej algebry Boole’a $𝔹$ istnieje izomorfizm

$s_{𝔹}:𝔹\to \text{CO(Ult)}(𝔹),$

przy czym

• dla każdej algebry Boole’a $𝔸$
• dla każdego homomorfizmu $h:𝔹\to 𝔸$

istnieje dokładnie jedna taka funkcja ciągła

$h^{*}:\text{CO(Ult)}(𝔸)\to \text{CO(Ult)}(𝔹),$

że

$h=s_{𝔸}^{-1}\circ h^{*}\circ s_{𝔹}.$

Ponadto

• jeżeli $h^{*}$ jest różnowartościowa, to $h$ jest epimorfizmem,
• jeżeli $h^{*}$ jest „na”, to $h$ jest monomorfizmem,
• jeżeli $ℂ$ jest algebrą Boole’a oraz $g:ℂ\to 𝔹$ jest homomorfizmem, to

$(h\circ g{)}^{*}=g^{*}\circ h^{*}.$

Zobacz też

• twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga
• twierdzenie Sikorskiego

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę