Twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga

Twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga – odpowiednik twierdzenia Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a dla algebr Heytinga. Twierdzenie to mówi, że każda algebra Heytinga jest izomorficzna z pewną podalgebrą topologicznej algebry Heytinga swojej przestrzeni Stone’a.

Twierdzenie

Definicja $\mathrm{\Phi }$ oraz przestrzeni Stone’a dla algebry Heytinga $\mathscr{H}$

Niech $\mathscr{H}$ będzie algebrą Heytinga z uniwersum $H.$ Algebry Heytinga są wzbogaceniem krat rozdzielnych, a więc na mocy twierdzenia o reprezentacji dla krat rozdzielnych odwzorowanie $\mathrm{\Phi }:H\to \mathrm{\wp }\left({𝒮}_{\mathscr{H}}\right)$ dane wzorem

$\mathrm{\Phi }(a):=\{F\in {𝒮}_{\mathscr{H}}:a\in F\}$

jest izomorfizmem krat.

W szczególności jest ono także izomorfizmem krat ograniczonych, ponieważ

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{\perp })=\varnothing ,\mathrm{\Phi }(\mathrm{\top })={𝒮}_{\mathscr{H}}.$

Niech teraz $𝒯$ będzie najmniejszą topologią na ${𝒮}_{\mathscr{H}},$ w której wartościami odwzorowania $\mathrm{\Phi }$ są zbiory otwarte. Okazuje się, że $\mathrm{\Phi }(H)$ jest bazą tej przestrzeni.

Topologię tę nazywamy topologią Stone’a. Przestrzeń $⟨{𝒮}_{\mathscr{H}},𝒯⟩$ nazywamy przestrzenią Stone’a algebry $\mathscr{H}.$

$\mathrm{\Phi }$ jest homomorfizmem algebr Heytinga $\mathscr{H}$ i algebry topologicznej ${\mathscr{H}}_{𝒯}.$

Należy jeszcze pokazać, że $\mathrm{\Phi }$ zachowuje działanie ${𝐂}^{\mathscr{H}},$ czyli że

$\mathrm{\Phi }(a\to b)=\mathrm{\Phi }(a)\Rightarrow \mathrm{\Phi }(b).$

Skoro $\mathrm{\Phi }$ jest izomorfizmem krat, to

$\mathrm{\Phi }(a)\cap \mathrm{\Phi }(a\to b)=\mathrm{\Phi }(a\sqcap (a\to b))⩽\mathrm{\Phi }(b),$ skąd $\mathrm{\Phi }(a\to b)\subseteq \mathrm{\Phi }(a)\Rightarrow \mathrm{\Phi }(b).$

Dla dowodu inkluzji przeciwnej, niech $x\in \mathrm{\Phi }(a)\Rightarrow \mathrm{\Phi }(b).$ Wówczas, skoro $\mathrm{\Phi }\stackrel{}{`}\stackrel{}{`}|\mathscr{H}|$ jest bazą topologii Stone’a, istnieje $c\in |\mathscr{H}|,$ dla którego

$x\in \mathrm{\Phi }(c)\subseteq \mathrm{\Phi }(a)\Rightarrow \mathrm{\Phi }(b)\subseteq \setminus \mathrm{\Phi }(a)\cup \mathrm{\Phi }(b),$ skąd $\mathrm{\Phi }(c)\cap \mathrm{\Phi }(a)\subseteq \mathrm{\Phi }(b),$ czyli $\mathrm{\Phi }(c\sqcap a)\subseteq \mathrm{\Phi }(b).$

Ponieważ $\mathrm{\Phi }$ jest izomorfizmem, znaczy to, że $c\sqcap a⩽b,$ czyli, że $c⩽a\to b,$ a stąd $x\in \mathrm{\Phi }(c)\subseteq \mathrm{\Phi }(a\to b),$ co było do pokazania.

Wymiar i topologia przestrzeni Stone’a

Załóżmy teraz, że $\mathscr{H}$ jest wzbogaceniem algebry Boole’a.

Wówczas:

1. Każdy filtr pierwszy jest ultrafiltrem.
2. Jeśli $a\in ̸F,$ to $\mathrm{\neg }a\in F,$ dla $F\in {𝒮}_{\mathscr{H}}.$

Stąd wynika, po pierwsze, że przestrzeń Stone’a jest zerowymiarowa, bo jej baza $\mathrm{\Phi }(H),$ składa się z elementów otwarto-domkniętych, co wynika stąd, że $\setminus \mathrm{\Phi }(a)=\mathrm{\Phi }(\mathrm{\neg }a),a\in H,.$

Jeśli teraz $F,G\in {𝒮}_{\mathscr{H}}$ są różne, to istnieją $f\in F\setminus G$ i $g\in G\setminus F.$ Wówczas też jednak $\mathrm{\neg }f\in G$ i $\mathrm{\neg }g\in F,$ skąd $f\sqcap \mathrm{\neg }g\in F$ i $g\sqcap \mathrm{\neg }f\in G.$ Oczywiście $F\in \mathrm{\Phi }(f\sqcap \mathrm{\neg }g)$ oraz $G\in \mathrm{\Phi }(g\sqcap \mathrm{\neg }f),$ zaś zbiory $\mathrm{\Phi }(f\sqcap \mathrm{\neg }g)$ i $\mathrm{\Phi }(g\sqcap \mathrm{\neg }f)$ są rozłączne. W ten sposób pokazaliśmy, że przestrzeń Stone’a jest przestrzenią topologiczną Hausdorffa.

Zwartość przestrzeni Stone’a

Załóżmy teraz, że $(\star ){𝒮}_{\mathscr{H}}=\bigcup _{j\in J}\mathrm{\Phi }(a_j)$ dla pewnej rodziny $\{a_j:j\in J\}$ elementów algebry $\mathscr{H}.$ Niech dalej, dla $F\subseteq |\mathscr{H}|,$ funkcja ${\chi }_F:|\mathscr{H}|\to \{0,1\}$ będzie funkcją charakterystyczną zbioru $F.$ Wówczas

$F\in {𝒮}_{\mathscr{H}}\iff {\chi }_F\in 𝐡𝐨𝐦(\mathscr{H},{ℬ}_2),$ gdzie ${ℬ}_2$ jest dwuelementową algebrą Boole’a, oraz

$F\in \mathrm{\Phi }(a)\iff a\in F\in {𝒮}_{\mathscr{H}}\iff ({\chi }_F(a)=1)\wedge (F\in {𝒮}_{\mathscr{H}})\iff {\chi }_F\in 𝐡𝐨𝐦(\mathscr{H},{ℬ}_2)\cap {\pi }_a^{-1}\stackrel{}{`}\stackrel{}{`}\{1\},a\in |\mathscr{H}|,$

gdzie ${\pi }_a:{}^{|\mathscr{H}|}\{0,1\}\to \{0,1\}$ jest funkcją rzutu na $a$-tą $(a\in |\mathscr{H}|)$ współrzędną potęgi ${}^{|\mathscr{H}|}\{0,1\}$ przestrzeni dyskretnej $\{0,1\}.$ Tym samym, warunek $(\star )$ równoważny jest warunkowi $𝐡𝐨𝐦(\mathscr{H},{ℬ}_2)=\bigcup _{j\in J}[𝐡𝐨𝐦(\mathscr{H},{ℬ}_2)\cap {\pi }_{a_j}^{-1}(\{1{\}}_{]}.$

Ponieważ produkt ${}^{|\mathscr{H}|}\{0,1\}$ zwartych przestrzeni Hausdorffa, na mocy BPI, jest przestrzenią zwartą, a $𝐡𝐨𝐦(\mathscr{H},{ℬ}_2)$ jest domknięty w ${}^{|\mathscr{H}|}\{0,1\},$ zaś zbiory $𝐡𝐨𝐦(\mathscr{H},{ℬ}_2)\cap {\pi }_{a_j}^{-1}(\{1\})$ są otwarte w topologii indukowanej na $𝐡𝐨𝐦(\mathscr{H},{ℬ}_2),$ istnieje skończone $J_0\subseteq J,$ dla którego $𝐡𝐨𝐦(\mathscr{H},{ℬ}_2)=\bigcup _{j\in J_0}[𝐡𝐨𝐦(\mathscr{H},{ℬ}_2)\cap {\pi }_a^{-1}(\{1\})],$ co oznacza, że ${𝒮}_{\mathscr{H}}=\bigcup _{j\in J_0}\mathrm{\Phi }(a_j).$

Pokazaliśmy zatem, że z dowolnego pokrycia bazowego przestrzeni Stone’a algebry Boole’a można wybrać podpokrycie skończone, a to oznacza, że jest ona zwarta.

Wniosek

Każda algebra Boole’a jest izomorficzna z podalgebrą algebry zbiorów otwarto-domkniętych pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa.

Uwaga

Zgodność odwzorowania Stone’a z działaniem dopełnienia kraty wynika ze związków:

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{\perp })=\mathrm{\varnothing }\text{i}\mathrm{\Phi }(\mathrm{\top })={𝒮}_{\mathscr{H}}.$