Twierdzenie o ideale pierwszym

Szablon:Spis treści Twierdzenie o ideale pierwszym – twierdzenie teorii krat rozdzielnych.

Twierdzenie

Twierdzenie o ideale pierwszym najczęściej używane jest w kontekście związanym z algebrami Boole’a jednak jego najogólniejsza wersja odnosi się do krat rozdzielnych:

Niech $𝒦=(K,+,\cdot )$ będzie kratą rozdzielną. Jeśli $F\subseteq K$ jest filtrem i $a\in K\setminus F,$ to istnieje ideał pierwszy $C$ rozłączny z $F$ i zawierający $a.$

Diagram Hassego kraty M₃, w której żaden ideał nie jest pierwszy

Założenie rozdzielności kraty jest istotne, na przykład w kracie $M_3,$ potocznie zwanej diamentem, żaden ideał nie jest pierwszy.

Bardziej rozpowszechnioną wersją tego twierdzenia jest tzw. BPI (od ang. Boolean prime ideal theorem), które brzmi następująco:

W każdej algebrze Boole’a istnieje ideał pierwszy.

Ponieważ dualizacja algebry Boole’a jest algebrą Boole’a, a ideały i filtry są pojęciami dualnymi, to można sformułować inne, równoważne, wersje BPI:

• W każdej algebrze Boole’a istnieje ideał/filtr maksymalny (w algebrach Boole’a pojęcia ideału/filtru pierwszego i maksymalnego pokrywają się).
• W algebrze Boole’a każdy filtr właściwy zawarty jest w pewnym ultrafiltrze (ultrafiltr – inna nazwa filtru maksymalnego).

Dowód (z wykorzystaniem lematu Kuratowskiego-Zorna)

Niech $𝒦,F\text{ i }a$ będą takie, jak w twierdzeniu. Niech dalej

$ℱ=\{C\subseteq K:a\in C,C\cap F=\varnothing ,C\text{ – ideał}\}$

Jak łatwo sprawdzić, $ℱ$ domknięta jest na sumy łańcuchów. Wobec tego, na mocy lematu Kuratowskiego-Zorna, istnieje w niej element maksymalny $C.$ Jest on ideałem rozłącznym z $F$ zawierającym $a.$ Pokażemy, że jest on pierwszy. Przypuśćmy zatem, że dla pewnych $c,d\in K$ zachodzi $c\cdot d\in C,c,d\in ̸C.$ Niech teraz $C_c\text{ i }{C}_d$ będą minimalnymi ideałami zawierającymi $C\cup \{c\}$ i $C\cup \{d\},$ odpowiednio. Wówczas, $C_c,C_d\in ̸ℱ,$ skąd $F\cap C_c,F\cap C_d\ne \varnothing .$ Niech zatem $f_c,f_d\in F$ będą takie, że $f_c\in F\cap C_c$ i $f_d\in F\cap C_d.$ Istnieją wówczas takie $x_c,x_d\in C,$ że $f_c⩽x_c+c$ i $f_d⩽x_d+d.$ Wówczas jednak $f=f_c\cdot f_d⩽x_c+c,x_d+d⩽(x_c+x_d)+c,(x_c+x_d)+d,$ skąd

$f⩽[(x_c+x_d)+c]\cdot [(x_c+x_d)+d]=[(x_c+x_d)+c\cdot d]\in C,$

co oznacza, iż $f\in C\cap F$ przecząc wyborowi $C.$ Uzyskana sprzeczność dowodzi tezy twierdzenia.

Dowód (z wykorzystaniem twierdzenia o zwartości)

Dla krat skończonych łatwo to udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.

Niech zatem $𝒦$ będzie kratą nieskończoną i niech ${ℒ}_{𝒦}$ będzie językiem klasycznego rachunku zdań ze zbiorem $\{{𝐩}_x:x\in K\}$ jako zbiorem zmiennych zdaniowych.

Rozważmy następujący zbiór $X$ formuł zdaniowych w tym języku:

$𝐂{𝐩}_x{𝐩}_y,x⩾y$

$𝐂𝐊{𝐩}_x{𝐩}_y{𝐩}_{x+y}$

$𝐂{𝐩}_{x\cdot y}𝐀{𝐩}_x{𝐩}_y$

$𝐍{𝐩}_x,x\in F$

${𝐩}_a$

gdzie $x,y\in K.$

Niech teraz $X_0$ będzie skończonym podzbiorem zbioru $X.$ Możemy założyć, że ${𝐩}_a\in X_0.$ Niech dalej $K_0$ będzie zbiorem tych elementów $x$ zbioru $K,$ dla których ${𝐩}_x$ występuje w $X_0.$ Wówczas podkrata ${𝒦}_0$ wyznaczona przez zbiór $K_0,$ będąc skończenie generowaną kratą rozdzielną, jest skończona. Niech dalej $F_0$ będzie filtrem wyznaczonym przez $F\cap K_0$ w kracie ${𝒦}_0.$ $a\in ̸F_0.$ Istnieje więc ideał pierwszy $C_0$ kraty ${𝒦}_0,$ który jest rozłączny z $F_0$ i zawiera $a.$ Niech teraz $v_0({𝐩}_x)=1\iff x\in C_0.$ Nietrudno wykazać, że $v_0$ spełnia wszystkie formuły ze zbioru $X_0.$ Wobec dowolności zbioru $X_0,$ oznacza to, że każdy skończony podzbiór zbioru $X$ jest spełnialny. Niech zatem $v$ spełnia wszystkie formuły zbioru $X.$ Wówczas $C=\{a:v({𝐩}_a)=1\}$ jest szukanym ideałem pierwszym kraty $𝒦.$

Uwagi i wnioski

Dowód twierdzenia o ideale pierwszym zaliczany jest do tzw. dowodów niekonstruktywnych, czyli, w uproszczeniu, wykorzystujących pewne formy aksjomatu wyboru (AC). W tym wypadku, w dowodzie najczęściej korzysta się z lematu Kuratowskiego-Zorna. Chociaż na gruncie teorii mnogości Zermela-Fraenkla BPI jest słabsze od pewnika wyboru (tzn. w ZFC można udowodnić więcej twierdzeń niż na gruncie teorii ZF+BPI), wystarcza on do udowodnienia dużej części twierdzeń z algebry, topologii czy analizy funkcjonalnej.

Na gruncie ZF+BPI można na przykład udowodnić:

• twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a
• twierdzenie Tichonowa dla zwartych przestrzeni Hausdorffa (równoważne z BPI w klasie zwartych przestrzeni Hausdorffa)
• aksjomat wyboru dla rodzin zbiorów skończonych
• twierdzenie Arzeli-Ascolego (równoważne z BPI)
• twierdzenie Hahna-Banacha, a to pociąga
  • istnienie niemierzalnego w sensie Lebesgue’a podzbioru prostej
  • paradoks Banacha-Tarskiego
• twierdzenie o zwartości dla klasycznego rachunku zdań (równoważne z BPI)
• istnienie ultrafiltru w kracie wszystkich zbiorów otwartych niepustej przestrzeni topologicznej (równoważne z BPI).

Zakładając na gruncie ZF, BPI + twierdzenie Krejna-Milmana można udowodnić AC, to znaczy aksjomat wyboru jest równoważny „BPI + twierdzenie Krejna-Milmana”.

Bibliografia

• Paul Howard, Jean E. Rubin: Consequences of the axiom of choice. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1998.