Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku.

Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej.

Twierdzenie

Niech

(a) $X$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych

(b) $p:X\to ℝ$ będzie funkcjonałem podaddytywnym i dodatnio jednorodnym, tzn.

$p(x+y)⩽p(x)+p(y)$ dla wszystkich $x,y\in X,$

$p(\alpha x)=\alpha p(x)$ dla wszystkich $\alpha \in [0,\mathrm{\infty })$ i $x\in X,$

(c) $M$ będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni $X$

(d) $\phi :M\to ℝ$ będzie takim odwzorowaniem liniowym, że

$\phi (x)⩽p(x)$ dla wszystkich $x\in M.$

Wówczas istnieje taki funkcjonał liniowy $\mathrm{\Phi }:X\to ℝ,$ że

$\mathrm{\Phi }(x)=\phi (x)$

dla wszystkich $x\in M$ oraz

$\mathrm{\Phi }(x)⩽p(x)$

dla wszelkich $x\in X.$

Uwagi o dowodzie

• Zwykle dowód twierdzenia Hahna-Banacha jest budowany przy użyciu lematu Kuratowskiego-Zorna, choć niektórzy autorzy podają dowody indukcyjne (dowody podane przez Hahna w 1927 i Banacha w 1929 roku były właśnie indukcyjne).
• Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego, więc każdy dowód twierdzenia Hahna-Banacha wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.
• Aksjomat o wyborach zależnych wystarczy dla dowodu twierdzenia Hahna-Banacha dla przestrzeni ośrodkowych. Twierdzenie o rozszerzaniu filtrów do ultrafiltrów wystarczy do udowodnienia twierdzenia Hanha-Banacha w pełnej ogólności, ale to ostatnie twierdzenie nie implikuje, że każdy filtr jest zawarty w filtrze maksymalnym.

Wnioski

• Jeżeli $X$ jest rzeczywistą przestrzenią liniową, a funkcjonał $p:X\to ℝ$ spełnia warunek (b), to dla każdego $x_0\in X$ istnieje taki funkcjonał liniowy $f:X\to ℝ,$ że $f(x_0)=p(x_0)$ oraz $f(x)⩽p(x)$ dla $x\in X.$
• Załóżmy, że

(a) $X$ jest przestrzenią liniową nad ciałem $𝕂$ liczb rzeczywistych lub zespolonych, a $p:X⟶[0,\mathrm{\infty })$ jest półnormą

(b) $M\subseteq X$ jest podprzestrzenią liniową, oraz ${\phi }_0:M\to 𝕂$ jest funkcjonałem liniowym takim, że

$|{\phi }_0(x)|⩽p(x)$ dla wszystkich $x\in M.$

Wówczas istnieje funkcjonał liniowy $\phi :X\to 𝕂$ taki, że $\phi {|}_M={\phi }_0$ oraz

$|\phi (x)|⩽p(x)$ dla wszystkich $x\in X.$

• Jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną, $M$ jest jej podprzestrzenią liniową oraz $x^{*}\in M^{*},$ to istnieje $y^{*}\in X^{*}$ taki, że

$y^{*}{|}_M=x^{*}$ oraz $\Vert x^{*}\Vert =\Vert y^{*}\Vert .$

• Twierdzenie o wydobywaniu normy: Jeśli $X$ jest niezdegenerowaną przestrzenią unormowaną oraz $x\in X\setminus \{0\},$ to $\Vert x\Vert =x^{*}x$ dla pewnego $x^{*}\in X^{*}$ takiego, że $\Vert x^{*}\Vert =1.$ Ponadto

$\Vert x\Vert =\sup \{|x^{*}x|:x^{*}\in X^{*},\Vert x^{*}\Vert =1\}.$

• Jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną, $M$ jest jej domkniętą podprzestrzenią liniową oraz $x\in X\setminus M,$ to istnieje $x^{*}\in X^{*}$ taki, że

$x^{*}x=1,x^{*}{|}_M\equiv 0$ oraz $\Vert x^{*}\Vert =\frac{1}{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x,M)}.$

• Twierdzenia o oddzielaniu.
• Stosując twierdzenie Hahna-Banacha, można udowodnić istnienie granicy Banacha i funkcjonału Banacha.

Modyfikacje twierdzenia Hahna-Banacha

Idea przedłużania odwzorowań z podprzestrzeni na całą przestrzeń z zachowaniem pewnych szczególnych własności, zawarta w twierdzeniu Hahna-Banacha, została przeniesiona także na inne przypadki przestrzeni czy odwzorowań. Na przykład:

Twierdzenie Krejna

Niech $P$ będzie stożkiem wypukłym w rzeczywistej przestrzeni liniowo-topologicznej $X$ o niepustym wnętrzu. Jeżeli $M$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $X$ oraz ${\phi }_0:M\to ℝ$ jest funkcjonałem liniowym takim, że

${\phi }_0(M\cap P)\subseteq [0,\mathrm{\infty }),$

to istnieje funkcjonał liniowy $\phi :X\to ℝ$ taki, że

$\phi {|}_M={\phi }_0$

oraz

$\phi (P)\subseteq [0,\mathrm{\infty }).$

Zobacz też

• twierdzenie Krejna-Milmana
• twierdzenie o rozszerzaniu miary

Bibliografia

• William Arveson, The Noncommutative Hahn-Banach theorems, [1].
• Mark Aronovich Naimark, Normed Rings, Wolters-Noordhoff, Groningen 1970, s. 63.
• Gerd Wittstock, Ein operatorwertiger Hahn-Banach Satz, J. Funct. Anal. 40 (1981), s. 127–150.