Granica Banacha

Granica Banacha – liniowy i ciągły funkcjonał na przestrzeni ${\ell }_{\mathrm{\infty }}$ wszystkich ograniczonych ciągów liczbowych z normą supremum, naśladujący własności operacji brania granicy ciągu zbieżnego. W szczególności, granica Banacha ciągu zbieżnego jest równa jego granicy w zwykłym sensie. Dla dowodu istnienia granic Banacha potrzebne jest twierdzenie Hahna-Banacha (a więc pewna forma aksjomatu wyboru), stąd charakter tego pojęcia jest wyłącznie egzystencjonalny – granicy Banacha nie można skonstruować krok po kroku. Użycie w dowodzie istnienia granicy Banacha twierdzenia Hahna-Banacha nie mówi nic o jednoznaczności istnienia funkcjonału o takich własnościach. Co więcej, każdemu ultrafiltrowi wolnemu w algebrze potęgowej $𝒫(\omega )$ odpowiada dokładnie jedna granica Banacha.

Twierdzenie

Istnieje ograniczony funkcjonał liniowy

$f:{\ell }_{\mathrm{\infty }}\to ℂ$

mający następujące własności:

1. Jeśli $x=(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {\ell }_{\mathrm{\infty }}$ oraz $x_n⩾0,$ to $f(x)⩾0,$
2. Jeśli $x\in {\ell }_{\mathrm{\infty }},$ to $f(x)=f(Sx),$ gdzie $Sx=(x_2,x_3,x_4,\dots )$ dla $x=(x_1,x_2,x_3,\dots ),$
3. $f(1,1,1,\dots )=1.$

Funkcjonał $f$ taki, jak wyżej nazywamy granicą Banacha.

Własności

Niech $L$ będzie granicą Banacha oraz $x=(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}},y=(y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {\ell }_{\mathrm{\infty }}.$ Wówczas:

• Jeśli $x_n⩽y_n$ dla $n\in \mathbb{N},$ to $L(x)⩽L(y)$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n⩽L(x)⩽\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n$ (co oznacza, że $L(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$ dla każdego ciągu zbieżnego $x$)
• $L(x)=1/2$ dla $x=(1,0,1,0,\dots )$ ponieważ $x+Sx=(1,1,1,\dots ),$ skąd $L(x+Sx)=1,$ ale

$L(x+Sx)=L(x)+L(Sx)=2L(x),$

czyli $L(x)=1/2$

• Granica Banacha nie jest funkcjonałem multyplikatywnym, tzn. istnieją takie ciągi ograniczone $x$ i $y,$ że

$L(xy)\ne L(x)\cdot L(y).$

Istotnie, gdyby granica Banacha była funkcjonałem multyplikatywnym, to biorąc $x=(1,0,1,0,\dots )$ dostalibyśmy

$0=L(0)=L(x\cdot Sx)=L(x)\cdot L(Sx)=(L(x){)}^2=\frac{1}{4},$

co stanowi sprzeczność.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę