Ideał pierwszy (teoria mnogości)

Ideał pierwszy – pojęcie teorii mnogości i logiki matematycznej.

Niech $𝒦=⟨K,\bigsqcup ,\sqcap ⟩$ będzie kratą.

Ideałem w kracie $𝒦$ jest dowolny właściwy podzbiór $\mathrm{\Delta }$ zbioru $K,$ dla którego

Szablon:Wzór

Szablon:Wzór

Ideał jest pierwszy, jeśli ponadto

Szablon:Wzór

Ideał jest maksymalny, jeśli nie jest podzbiorem właściwym innego ideału.

W kratach rozdzielnych ideałami pierwszymi są ideały maksymalne.

Pojęcie ideału w kracie jest dualne do pojęcia filtra. W algebrach Boole’a $\mathrm{\Delta }$ jest ideałem wtedy i tylko wtedy, gdy $\{\mathrm{\neg }a:a\in \mathrm{\Delta }\}$ jest filtrem.

Przykłady

• W kracie podzbiorów zbioru nieskończonego, rodzina zbiorów skończonych jest ideałem.
• W kracie podzbiorów zbioru nieskończonego, rodzina zbiorów niepełnej mocy jest ideałem.
• W kracie podzbiorów przestrzeni z miarą, rodzina zbiorów miary zero jest ideałem.

Zastosowania

• logika matematyczna
• podstawy informatyki

Zobacz też

• ideał pierwszy (teoria pierścieni)
• filtr pierwszy
• przestrzeń Stone’a