Ciało zbiorów

Szablon:Nie mylić z Ciało zbiorów, algebra zbiorów – rodzina $ℱ$ podzbiorów pewnego niepustego zbioru $X$ spełniająca warunki:

1. zbiór pusty należy do $ℱ,$
2. dopełnienie zbioru należącego do $ℱ$ należy do $ℱ,$
3. suma dwóch zbiorów należących do $ℱ$ należy do $ℱ.$

Czasami, by podkreślić, że $ℱ$ jest rodziną podzbiorów konkretnego zbioru $X,$ pisze się ciało zbiorów na $X.$

Ciała zbiorów bada się w teorii mnogości i teorii algebr Boole’a, w mniejszym stopniu w teorii miary, probabilistyce, topologii i kombinatoryce.

Podstawowe przykłady

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem.

Następujące rodziny podzbiorów $X$ są ciałami na $X:$

• rodzina wszystkich podzbiorów zbioru $X$ (zbiór potęgowy),
• rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru $X,$
• rodzina ${ℱ}_A=\{A,X\setminus A,\varnothing ,X\},$ gdzie $A$ jest dowolnym podzbiorem $X,$
• rodzina złożona z tych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, które są skończone lub ich dopełnienie jest skończone (jest ciałem),
• każde σ-ciało podzbiorów $X$ – na przykład rodzina borelowskich podzbiorów danej przestrzeni topologicznej jest ciałem, które jest również σ-ciałem.

Jeśli $(X,\tau )$ jest przestrzenią topologiczną, to rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów $X$ tworzy ciało. (Ciała tego typu są rozważane głównie dla przestrzeni zerowymiarowych).

Niech $(X,{⩽}^{*})$ będzie porządkiem liniowym w którym istnieje element najmniejszy. Dla $x,y\in X\cup \{\mathrm{\infty }\},x{<}^{*}y$ niech $[x,y):=\{z\in X:x{⩽}^{*}z{<}^{*}y\}.$ (Element $\mathrm{\infty }$ jest traktowany jako element większy niż wszystkie punkty z $X.$) Niech $ℱ$ będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych podzbiorów $X$ które mogą być przedstawione jako $[x_0,y_0)\cup \dots \cup [x_k,y_k)$ dla pewnych elementów $x_0,y_0,\dots ,x_k,y_k\in X\cup \{\mathrm{\infty }\}$ spełniających nierówności $x_0{<}^{*}{y}_0{<}^{*}{x}_1{<}^{*}{y}_1{<}^{*}\dots {<}^{*}{x}_k{<}^{*}{y}_k,$ $k\in \mathbb{N}.$ Wówczas $ℱ$ jest ciałem podzbiorów $X;$ jest to ciało generowane przez przedziały $[x,y)$ dla $x,y\in X\cup \{\mathrm{\infty }\}.$

Podstawowe własności

• Każde ciało na $X$ jest zamknięte na dowolne skończone przekroje i sumy.
• Przekrój dowolnej rodziny ciał na $X$ jest ciałem zbiorów.
• Dla dowolnej rodziny $𝒜$ podzbiorów zbioru $X$ istnieje najmniejsze ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywamy je ciałem generowanym przez tę rodzinę.
• Przypuśćmy, że $ℱ$ jest ciałem podzbiorów $X,$ a $ℐ$ jest ideałem podzbiorów $X.$ Wówczas ciało generowane przez $ℱ\cup ℐ$ to rodzina $\{A\dot{-}B:A\in ℱ\wedge B\in ℐ\},$ gdzie $\dot{-}$ oznacza operację różnicy symetrycznej.
• Pierścień zbiorów $R$ na $X$ jest ciałem zbiorów, jeśli należy do niego zbiór $X.$

Ciała jako algebry Boole’a

• Jeśli $ℱ$ jest ciałem zbiorów na $X,$ to $(ℱ,\cup ,\cap ,{\prime }^{},\varnothing ,X)$ jest algebrą Boole’a.
• Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole’a). Dokładniej mówiąc, algebra Boole’a $𝔹$ jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni ultrafiltrów na $𝔹$ (tzw. przestrzeni Stone’a algebry $𝔹$). Twierdzenie Stone’a nie może być dowiedzione wyłącznie na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla – wymaga ono założenia pewnej formy aksjomatu wyboru (rozszerzalności ideałów w algebrach Boole’a do ideałów pierwszych).

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę