Dopełnienie zbioru

Plik:Absolute complement.svg

Diagram Venna: $A^c$ jest dopełnieniem $A$ względem $U.$

Dopełnienie zbioru, uzupełnienie zbioru – zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą.

Definicja formalna

Niech dany będzie zbiór $U,$ zwany dalej przestrzenią, zbiorem uniwersalnym lub uniwersum, oraz jego podzbiór $A\subseteq U.$ Dopełnieniem zbioru $A$ nazywa się różnicę

$U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\},$

oznaczaną zwykle symbolem $A^{\prime }$ lub $A^{\mathrm{c}}$, a w starszych pozycjach także ${\complement }_{U}A$ lub, jeśli $U$ jest znane, krótko $\complement A$ (litera „c” w niektórych oznaczeniach pochodzi od ang. complement, dopełniać).

Niekiedy spotyka się również oznaczenie $-A$, jednak jeżeli $A$ jest zbiorem, na którym określono pewną (addytywną) strukturę algebraiczną, to $-A$ może oznaczać wtedy $\{-a:a\in A\}.$

• Z definicji wynika, że dopełnienie zbioru zależy od wyboru przestrzeni.
• Korzystając z pojęcia dopełnienia zbiorów, różnicę zbiorów $A,B\subseteq U$ można zapisać w postaci:

$A\setminus B=A\cap B^{\prime }.$

Własności

Dla dowolnego uniwersum $U$ prawdziwe są równości

${\varnothing }^{\prime }=U,U^{\prime }=\varnothing .$

Dla ustalonego $U$ i dowolnego $A\subseteq U$ zachodzi

$(A^{\prime }{)}^{\prime }=A,$

co oznacza, że operacja dopełnienia jest inwolucją.

Prawdą jest też, iż zbiór i jego dopełnienie są rozłączne,

$A\cap A^{\prime }=\varnothing ,$

a ich suma daje całe uniwersum,

$A\cup A^{\prime }=U,$

co oznacza, że $\{A,A^{\prime }\}$ jest rozbiciem zbioru $U.$

Dla danych $A,B\subseteq U$ zachodzą prawa de Morgana:

$(A\cup B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cap B^{\prime },$

$(A\cap B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cup B^{\prime }.$

Dodatkowo

$B=A^{\prime }$ pociąga $B^{\prime }=A.$

Przykłady

• Dopełnieniem zbioru $\{1,2\}$ w zbiorze $\{1,2,3\}$ jest zbiór $\{3\}.$
• Dopełnieniem zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych jest zbiór liczb niewymiernych.
• Dopełnieniem prostej na płaszczyźnie euklidesowej jest suma dwóch rozłącznych otwartych półpłaszczyzn.
• Dopełnieniem zbioru $\{0,1,2\}$ w przestrzeni liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych większych od $2,$ natomiast w przestrzeni $\{-1,0,1,2,3,4,5\}$ jest to zbiór $\{-1,3,4,5\}.$