Różnica symetryczna zbiorów

Plik:Venn A symmetric minus B.svg

Diagram Venna dla $A\dot{-}B$ (różnica symetryczna oznaczona jest kolorem jasnofioletowym)

Różnica symetryczna zbiorów $A$ i $B$ – zbiór, do którego należą elementy dokładnie jednego z tych zbiorów, czyli zbioru $A$ nienależące do zbioru $B$ oraz elementy zbioru $B$ nienależące do zbioru $A$Szablon:Odn.

To działanie dwuargumentowe oznacza się różnymi symbolamiSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn: $\dot{-},$ $\mathrm{\Delta }$ oraz $\oplus$Szablon:Odn. Można je formalnie definiować przez sumę i różnicę zbiorówSzablon:Odn, a także równoważnie, odwołując się też do przekroju:

$A\dot{-}B:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B).$

Pojęcie to pojawiło się najpóźniej w XX wieku; w 1936 roku użył go Marshall Stone.

Własności

• Jeśli $A\subseteq B,$ to $A\dot{-}B=B\setminus A.$
• Za pomocą różnicy symetrycznej i iloczynu można zdefiniować sumę i różnicę zbiorów:
  • Jeśli $A\cap B=\mathrm{\varnothing },$ to $A\dot{-}B=A\cup B;$ ogólniej, $A\cup B=A\dot{-}B\dot{-}(A\cap B)$Szablon:Odn.
  • $A\setminus B=A\dot{-}(A\cap B)$Szablon:Odn
• Zbiór $A\dot{-}(B\dot{-}C)$ składa się z elementów należących albo do wszystkich trzech zbiorów, albo do dokładnie jednego z nich. Z uwagi tej wynika łączność tego działaniaSzablon:OdnSzablon:Odn.
• Zbiór potęgowy $𝒫(A)$ zbioru $A$ z operacją różnicy symetrycznej tworzy grupę przemienną, gdyż działanie to:
  • jest operacją łączną,
  • jest operacją przemienną,
  • ma element neutralny – jest nim zbiór pusty: $A\dot{-}\varnothing =A$Szablon:Odn,
  • ma element odwrotny dla dowolnego zbioru $A$ – jest nim sam zbiór $A,$ gdyż $A\dot{-}A=\varnothing$Szablon:Odn.
• Działanie przekroju zbiorów jest rozdzielne względem różnicy symetrycznej.
• Z powyższych powodów zestaw $(𝒫(A),\dot{-},\cap )$ tworzy pierścień – łączny, przemienny i z jedynką, w którym dodatkowo $A\cap A=A$ dla wszystkich $A\in 𝒫(A).$ Jest to przykład pierścienia Boole’a.

Różnica symetryczna w logice

Przyjmując, że zdanie logiczne $a$ oznacza: „$x$ należy do zbioru $A$”, natomiast zdanie $b:$ „$x$ należy do zbioru $B$” to zdanie $x\in A\dot{-}B$ można równoważnie zapisać jako $a\underset{\_}{\vee }b,$ gdzie $\underset{\_}{\vee }$ oznacza alternatywę rozłączną.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].