Twierdzenie Sikorskiego

Twierdzenie Sikorskiego – twierdzenie teorii algebr Boole’a mówiące, każdy homomorfizm z podalgebry danej algebry Boole’a o wartościach w algebrze zupełnej można przedłużyć do homomorfizmu na całej algebrze. Innymi słowy:

Niech $𝔹$ będzie algebrą Boole’a oraz $𝔸\subseteq 𝔹$ jej podalgebrą. Jeżeli $ℂ$ jest algebrą zupełną to dla każdego homomorfizmu $h:𝔸\to ℂ$ istnieje taki homomorfizm $g:𝔹\to ℂ,$ że $g\upharpoonright 𝔸=h.$

Idea dowodu

Oczywiście odwzorowanie tożsamościowe $i:𝔸\to 𝔹$ jest homomorfizmem. Z twierdzenia Stone’a wynika, że istnieją takie izomorfizmy $s_{𝔸}:𝔸\to \text{CO(Ult)}(𝔸),$ $s_{𝔹}:𝔹\to \text{CO(Ult)}(𝔹)$ i $s_{ℂ}:ℂ\to \text{CO(Ult)}(ℂ),$ że

$s_{𝔹}\circ i=\overline{i^{*}}\circ s_{𝔸}$

oraz

$s_{ℂ}\circ h=\overline{i^{*}}\circ s_{𝔸},$

gdzie $\text{CO(Ult)}(𝕏)$ oznacza algebrę zbiorów regularnie otwartych przestrzeni Stone’a algebry $𝕏.$

Z twierdzenia Stone’a wynika ponadto, że $\overline{i^{*}}$ jest „na”, ponieważ $i$ jest różnowartościowe. Algebra $ℂ$ jest zupełna, a więc jej przestrzeń Stone’a jest ekstremalnie niespójna. Na mocy twierdzenia Gleasona istnieje taka funkcja ciągła $f:\mathrm{U}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{(}ℂ\mathrm{)}\mathrm{\to }\mathrm{U}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{(}𝔹\mathrm{)},$ że

$i^{*}\circ f=h^{*},$

a więc

$\overline{h^{*}}=\bar{f}\circ \overline{i^{*}}.$

Funkcja

$g=s_{ℂ}^{-1}\circ \bar{f}\circ s_{𝔹}$

jest szukanym homomorfizmem ponieważ $h=g\circ i.$

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Wstęp do teorii mnogości. PWN, Warszawa, 2007, s. 351–352.