Arytmetyka liczb kardynalnych

Arytmetyka liczb kardynalnych – dział teorii mnogości zajmujący się liczbami kardynalnymi i działaniami na nich.

Arytmetyka liczb kardynalnych znacznie różni się od arytmetyki liczb rzeczywistych – zarówno rozważane działania mają inne własności, jak i stawiane pytania są inne. Podstawową różnicą jest jednak fakt, że wiele stwierdzeń dotyczących działań na liczbach kardynalnych jest niezależnych od standardowych aksjomatów teorii mnogości (aksjomaty Zermela-Fraenkla).

W dalszej części tego artykułu zakładamy aksjomaty Zermela-Fraenkla (bez aksjomatu wyboru niektóre z definicji należy sformułować inaczej i wiele z prezentowanych faktów nie jest prawdziwych).

Definicje

Pojęcia wstępne

• Liczba porządkowa $\alpha$ jest początkową liczbą porządkową jeśli $\alpha$ nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe nazywamy liczbami kardynalnymi.
• Przy założeniu teorii ZFC każdy zbiór A jest równoliczny z pewną liczbą kardynalną – liczba ta jest nazywana mocą zbioru A i jest oznaczana przez $|A|.$
• Skończone liczby kardynalne to liczby naturalne: 0, 1, 2, ..., a najmniejsza nieskończona liczba kardynalna to ${\mathrm{\aleph }}_0,$ moc zbioru wszystkich liczb naturalnych.
• Współkońcowość nieskończonej liczby kardynalnej $\kappa$ to najmniejsza liczba kardynalna $\mu$ taka, że każdy zbiór mocy $\kappa$ może być przedstawiony jako suma $\mu$ wielu zbiorów mocy mniejszej niż $\kappa :$

$\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa )=\min \{\mu \in 𝐂𝐍:\kappa =\bigcup _{\alpha <\mu }{A}_{\alpha }$ dla pewnych zbiorów $A_{\alpha }\subseteq \kappa$ takich, że $|A_{\alpha }|<\kappa$ (dla wszystkich $\alpha <\mu$) $\}.$

Jeśli $\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa )=\kappa$ to mówimy że $\kappa$ jest regularną liczbą kardynalną. Liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy liczbami singularnymi.

• Następnik liczby kardynalnej $\kappa$ to pierwsza liczba kardynalna większa od $\kappa$ (jest on oznaczany przez ${\kappa }^{+}$).

Działania dwuargumentowe

Określamy następujące działania dwuargumentowe na liczbach kardynalnych. Niech $\kappa ,\mu$ będą liczbami kardynalnymi.

• Dodawanie liczb kardynalnych – sumą liczb $\kappa$ i $\mu$ nazywamy moc sumy rozłącznych kopii $\mu$ i $\kappa :$

$\mu +\kappa =|(\mu \times \{0\})\cup (\kappa \times \{1\})|.$

• Mnożenie liczb kardynalnych – iloczynem liczb $\kappa$ i $\mu$ nazywamy moc iloczynu kartezjańskiego zbiorów $\kappa$ i $\mu :$

$\kappa \cdot \mu =|\kappa \times \mu |.$

• Potęgowanie liczb kardynalnych – przez ${\kappa }^{\mu }$ rozumiemy moc zbioru wszystkich funkcji z $\mu$ w $\kappa :$

${\kappa }^{\mu }=|{}^{\mu }\kappa |.$

• Definiujemy również słabą potegę ${\kappa }^{<\mu }$ jako

${\kappa }^{<\mu }=\sup \{{\kappa }^{\lambda }:\lambda \in 𝐂𝐍\wedge \lambda <\mu \}.$

Działania nieskończone

Niech $\{{\kappa }_i:i\in I\}$ będzie rodziną indeksowaną liczb kardynalnych. Określamy

sumę $\sum _{i\in I}{\kappa }_i=|\bigcup \{{\kappa }_i\times \{i\}:i\in I\}|$ oraz

produkt $\prod _{i\in I}{\kappa }_i=\left|\{f:f:I⟶\bigcup _{i\in I}{\kappa }_i\wedge (\mathrm{\forall }i\in I)(f(i)\in {\kappa }_i)\}\right|.$

Przykłady wyników klasycznych

• Dla każdych niezerowych liczb kardynalnych $\kappa ,\mu ,\lambda$ mamy:

1. Jeśli ${\mathrm{\aleph }}_0⩽\kappa ,$ to $\kappa +\mu =\max (\kappa ,\mu )=\kappa \cdot \mu .$
2. Jeśli $1⩽\kappa ⩽\mu ,$ to ${\kappa }^{\lambda }⩽{\mu }^{\lambda }$ oraz ${\lambda }^{\kappa }⩽{\lambda }^{\mu }.$
3. Jeśli $1<\kappa <{\mathrm{\aleph }}_0⩽\lambda ,$ to ${\kappa }^{\lambda }={\lambda }^{\lambda }$ oraz ${\lambda }^{\kappa }=\lambda .$
4. $2^{\kappa }$ jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów $\kappa .$ Jeśli $2⩽\mu ⩽\kappa$ oraz $\kappa$ jest nieskończona, to ${\kappa }^{\mu }=\left|\{A\subseteq \kappa :|A|=\mu \}\right|$ oraz ${\kappa }^{<\mu }=\left|\{A\subseteq \kappa :|A|<\mu \}\right|.$
5. $({\kappa }^{\mu }{)}^{\lambda }={\kappa }^{\mu \cdot \lambda },$ ${\kappa }^{\mu }\cdot {\kappa }^{\lambda }={\kappa }^{\mu +\lambda },$ i $(\kappa \cdot \mu {)}^{\lambda }={\kappa }^{\lambda }\cdot {\mu }^{\lambda }$
6. Jeśli $\kappa ,\mu$ są nieskończone, to $({\kappa }^{+}{)}^{\mu }={\kappa }^{+}\cdot {\kappa }^{\mu }$ (twierdzenie Hausdorffa).
7. Jeśli $\kappa$ jest nieskończone, to $\kappa <{\kappa }^{\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa )}$ oraz $\kappa <\mathrm{c}\mathrm{f}(2^{\kappa }).$

• Przypuśćmy, że $\{{\kappa }_i:i\in I\},$ $\{{\mu }_i:i\in I\}$ są rodzinami niezerowych liczb kardynalnych, $I\ne \mathrm{\varnothing }.$

1. $\sum _{i\in I}{\kappa }_i=\max (|I|,\sup \{{\kappa }_i:i\in I\}).$ Jeśli więc $|I|⩽\sup \{{\kappa }_i:i\in I\}$ to $\sum _{i\in I}{\kappa }_i=\sup \{{\kappa }_i:i\in I\}.$ Ostatnia równość zachodzi w szczególności gdy ${\kappa }_i\ne {\kappa }_j$ dla różnych $i,j\in I.$
2. Jeśli ${\kappa }_i<{\mu }_i$ dla wszystkich $i\in I,$ to $\sum _{i\in I}{\kappa }_i<\prod _{i\in I}{\mu }_i$ (twierdzenie Königa).

GCH i SCH

• Uogólniona hipoteza continuum (GCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej liczby kardynalnej $\kappa$ zachodzi $2^{\kappa }={\kappa }^{+}$. Przy założeniu GCH arytmetyka kardynalna bardzo się upraszcza:

Załóżmy GCH. Wówczas dla każdych liczb kardynalnych $\kappa ⩾2$ oraz $\lambda ⩾{\mathrm{\aleph }}_0$ mamy

$\kappa$

jeśli

$\lambda <\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa ),$

$\kappa$

jeśli

$\lambda ⩽\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa ),$

${\kappa }^{\lambda }=$

${\kappa }^{+}$

jeśli

$\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa )⩽\lambda <\kappa ,$

oraz

${\kappa }^{<\lambda }=$

${\kappa }^{+}$

jeśli

$\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa )<\lambda ⩽{\kappa }^{+},$

${\lambda }^{+}$

jeśli

$\kappa ⩽\lambda ,$

$\lambda$

jeśli

${\kappa }^{+}<\lambda .$

• Hipoteza liczb singularnych (ang. singular cardinal hypothesis, SCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej $\kappa ,$ jeśli $2^{\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa )}<\kappa$ to ${\kappa }^{\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa )}={\kappa }^{+}$. Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję $\kappa \mapsto 2^{\kappa }.$

Załóżmy SCH. Wówczas dla każdych nieskończonych liczb kardynalnych $\kappa ,\lambda$ mamy

			$\kappa$		jeśli		$2^{\lambda }<\kappa$ oraz $\lambda <\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa ),$
	${\kappa }^{\lambda }=$		${\kappa }^{+}$		jeśli		$2^{\lambda }<\kappa$ oraz $\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa )⩽\lambda ,$
			$2^{\lambda }$		jeśli		$\kappa ⩽2^{\lambda }.$

Ponadto, jeśli $\kappa$ jest liczbą singularną to

(a) jeśli dla pewnej liczby kardynalnej $\mu <\kappa$ mamy iż $(\mathrm{\forall }\lambda \in [\mu ,\kappa ))(2^{\lambda }=2^{\mu }),$ to $2^{\kappa }=2^{<\kappa },$

(b) jeśli założenie punktu (a) nie jest spełnione, to $2^{\kappa }={\left(2^{<\kappa }\right)}^{+}.$

• Warto zauważyć, że GCH jest niezależne od ZFC (czyli nie można tego zdania udowodnić, ale nie można też udowodnić jego zaprzeczenia). Łatwo można się przekonać, że GCH implikuje SCH. CiekawymSzablon:Według kogo wynikiem odkrytymSzablon:Przez kogo niedawnoSzablon:Kiedy jest, że PFA również implikuje SCH. Naruszenia SCH związane są z dużymi liczbami kardynalnymi.

Przykłady wyników zaawansowanych

• Rozwijając metodę forsingu, w 1970 roku William Easton udowodnił następujące twierdzenie. Przypuśćmy, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że $\kappa <\mathrm{c}\mathrm{f}(𝐅(\kappa ))$ dla wszystkich regularnych $\kappa .$ Wówczas (przy założeniu, że ZFC jest niesprzeczne) jest niesprzecznym z ZFC, że $2^{\kappa }=𝐅(\kappa )$ dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych $\kappa .$
• Jeśli $\kappa$ jest liczbą mierzalną oraz $2^{\lambda }={\lambda }^{+}$ dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej $\lambda <\kappa ,$ to również $2^{\kappa }={\kappa }^{+}.$
• Jeśli zbiór $\{\alpha <{\omega }_1:{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }^{{\mathrm{\aleph }}_1}<{\mathrm{\aleph }}_{\alpha +\alpha }\}$ jest stacjonarny w ${\omega }_1,$ to ${\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_1}^{{\mathrm{\aleph }}_1}<{\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_1+{\omega }_1}.$
• Jeśli ${\mathrm{\aleph }}_1⩽\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa )<\kappa$ oraz zbiór $\{\mu <\kappa :2^{\mu }={\mu }^{+}\}$ jest stacjonarny w $\kappa ,$ to $2^{\kappa }={\kappa }^{+}.$
• W latach 90. XX wieku Saharon Szelach rozwinął teorię PCF, która stała się jednym z głównych kierunków badań we współczesnej arytmetyce liczb kardynalnych. Wyniki tej teorii wykazują, że pomimo dużej kolekcji twierdzeń niezależnościowych, wciąż można dowieść wielu twierdzeń w ZFC, o ile zadajemy właściwe pytania. Z wyników teorii pcf można wywnioskować nowe prawa klasycznej arytmetyki liczb kardynalnych, np. że ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }^{{\mathrm{\aleph }}_0}⩽2^{{\mathrm{\aleph }}_0}+{\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_4}.$
• W głębszym zrozumieniu arytmetyki liczb kardynalnych pomoże książka Wojciecha Guzickiego i Pawła Zbierskiego lub monografia Thomasa Jecha lub monografia M. Holza, K. Steffensa i E. Weitza