Regularna liczba kardynalna

Regularna liczba kardynalna – nieskończona liczba kardynalna, która nie może być przedstawiona jako suma mniej niż κ zbiorów mocy mniejszej niż κ. Nieskończone liczby kardynalne, które nie są regularne nazywa się liczbami osobliwymi (singularnymi).

W dalszej części artykułu zakłada się ZFC (bez aksjomatu wyboru niektóre definicje należy sformułować inaczej i niektóre stwierdzenia nie są prawdziwe).

Pojęcia wstępne

Liczba porządkowa $\alpha \in 𝐎𝐍$ jest początkową liczbą porządkową, jeśli $\alpha$ nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe nazywa się liczbami kardynalnymi (ich klasę oznacza się $𝐂𝐍$).

Każdy zbiór A jest równoliczny (przy założeniu ZFC) z pewną liczbą kardynalną oznaczaną $|A|$ nazywaną mocą tego zbioru. Najmniejszą nieskończoną liczba kardynalną jest moc zbioru wszystkich liczb naturalnych $|\mathbb{N}|$ oznaczana ${\mathrm{\aleph }}_0.$

Współkońcowość (kofinalność) nieskończonej liczby kardynalnej $\kappa$ to najmniejsza liczba kardynalna $\mu$, za pomocą której dowolny zbiór mocy $\kappa$ można przedstawić w postaci sumy $\mu$ wielu zbiorów mocy mniejszej niż $\kappa :$

$\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa )=\min \{\mu \in 𝐂𝐍:\kappa =\bigcup \{A_{\alpha }:\alpha <\mu \}$ dla pewnych zbiorów $A_{\alpha }\subseteq \kappa$ o tej własności, że wszystkich $\alpha <\mu$ zachodzi $|A_{\alpha }|<\kappa \}.$

Uwaga

Zdefiniowana powyżej współkońcowość liczby κ jest zgodna ze współkońcowością tej liczby jako porządku liniowego:

$\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa )=\min \{\alpha \in 𝐎𝐍:$ istnieje rosnący ciąg $⟨{\xi }_{\beta }:\beta <\alpha ⟩$ taki że $(\mathrm{\forall }\beta <\alpha )({\xi }_{\beta }<\kappa )$ oraz $(\mathrm{\forall }\zeta <\kappa )(\mathrm{\exists }\beta <\alpha )(\zeta <{\xi }_{\beta })\}.$

Definicje

Liczbę kardynalną $\kappa ⩾{\mathrm{\aleph }}_0$ nazywa się

• liczbą regularną, gdy $\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa )=\kappa$;
• liczbą osobliwą, jeśli $\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa )<\kappa$.

Podstawowe własności

• ${\mathrm{\aleph }}_0,{\mathrm{\aleph }}_1,{\mathrm{\aleph }}_2$ są liczbami regularnymi.
• Następnik liczby kardynalnej (dla danej liczby $\kappa$ pierwsza liczba kardynalna od niej większa, oznaczana ${\kappa }^{+}$) jest liczbą regularną.
• ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ jest najmniejszą liczbą osobliwą. Następną taką liczbą jest ${\mathrm{\aleph }}_{\omega +\omega }.$
• Jeśli $\alpha$ jest graniczną liczbą porządkową, to $\mathrm{c}\mathrm{f}({\mathrm{\aleph }}_{\alpha })=\mathrm{c}\mathrm{f}(\alpha ).$ Zatem dla granicznych $\alpha ,$ ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ jest regularną liczbą kardynalną wtedy i tylko wtedy gdy ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }=\alpha$ jest liczbą nieosiągalną.
• Z punktu widzenia arytmetyki liczb kardynalnych, liczby regularne zachowują się całkowicie inaczej niż liczby osobliwe:
  • Zachowanie funkcji $\kappa \mapsto 2^{\kappa }$ dla liczb regularnych jest ograniczone jedynie przez warunek $\kappa <\mathrm{c}\mathrm{f}(2^{\kappa })$ i przez trywialny warunek $\kappa <\lambda \Rightarrow 2^{\kappa }⩽2^{\lambda }.$ Mianowicie, niech F będzie rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych, której wartościami są nieskończone liczby kardynalne oraz $\kappa <\mathrm{c}\mathrm{f}(𝐅(\kappa ))$ dla wszystkich regularnych $\kappa .$ Wówczas (jest niesprzecznym z ZFC, że) $2^{\kappa }=𝐅(\kappa )$ dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych $\kappa .$
  • Właściwości funkcji $\kappa \mapsto 2^{\kappa }$ dla liczb osobliwych zostały mniej poznane. Teoria PCF demonstruje nietrywialne ograniczenia zachowania tej funkcji.

  Hipoteza liczb osobliwych (SCH) to zdanie stwierdzające, że „dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej $\kappa ,$ jeśli $2^{\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa )}<\kappa$, to ${\kappa }^{\mathrm{c}\mathrm{f}(\kappa )}={\kappa }^{+}$”. Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję $\kappa \mapsto 2^{\kappa }$ dla liczb regularnych. Naruszenie SCH jest związane z dużymi liczbami kardynalnymi: Z naruszenia SCH można znaleźć pewne duże liczby kardynalne w modelach wewnętrznych; a jeśli istnieją wystarczająco duże liczby kardynalne, można skonstruować modele naruszające SCH.